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| Equações diferenciais através de substituição https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=17&t=11536 |
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| Autor: | karenfreitas [ 18 jul 2016, 21:29 ] |
| Título da Pergunta: | Equações diferenciais através de substituição |
A equação diferencial: \(e^y{y}' = e^{-xy} -y\) dica para substituição \(xy = v\) Tô com muita dificuldade nesse assunto. Principalmente nessa hora de separar as variáveis, que não consigo fazer. Agradeço desde já. |
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| Autor: | karenfreitas [ 18 jul 2016, 21:31 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Equações diferenciais através de substituição |
karenfreitas Escreveu: A equação diferencial:
\(x{y}' = e^{-xy} -y\) dica para substituição \(xy = v\) Tô com muita dificuldade nesse assunto. Principalmente nessa hora de separar as variáveis, que não consigo fazer. Agradeço desde já. |
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| Autor: | karenfreitas [ 18 jul 2016, 21:33 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Equações diferenciais através de substituição |
karenfreitas Escreveu: karenfreitas Escreveu: A equação diferencial: \(x{y}' = e^{-xy} -y\) dica para substituição \(xy = v\) Tô com muita dificuldade nesse assunto. Principalmente nessa hora de separar as variáveis, que não consigo fazer. Agradeço desde já. Errata: não é euler e sim x. Desculpe o erro |
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| Autor: | Sobolev [ 19 jul 2016, 07:54 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Equações diferenciais através de substituição |
Deve começar por seguir a sugestão, considerando uma nova variável \(v\) em vez de \(y\). Sabemos que \(xy = v \Leftrightarrow y = \frac vx, \quad y' = (\frac vx)'=\dfrac{v' x - v}{x^2}\) Substituindo na equação, \(xy'= e^{-xy}-y \Leftrightarrow \dfrac{v'x-v}{x} = e^{-v}-\frac vx\Leftrightarrow v' = e^{-v}\) Esta última equação é de variáveis separáveis... \(e^v dv = dx\) e a sua solução geral é dada, na forma implícita, por \(\int e^v dv = \int dx \Leftrightarrow e^v = x + C\) Neste caso pode-se determinar explicitamente a expressão de v, \(v = \log(x+C)\). Assim, recordando que \(y = \frac vx\), temos finalmente que \(y(x) = \frac{\log(x+C)}{x}\) |
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