Velocidade económica , custo de viagem

[pires]

Um camião tem de percorrer 450km numa auto-estrada a uma velocidade constante de x km/h . A lei impõe que 40 <x<120 ( 40 e 120 incluídos ) . Admita-se que o combustível custa 1,40 euros por litro e é consumido na razão de 2 + (x^2)/600 litros por hora . Se o condutor reebe "D" euros por hora e cumpre as restrições do trânsito , determine a velocidade mais económica e o custo de viagem se :
a) D=2
b) D=10
c) D=30

[João P. Ferreira]

O consumo em litros por hora é

\(cons(x)=2 + \frac{x^2}{600}\) (ltr/h)

onde \(x\) é a velocidade constante

logo o custo por hora será consumo por hora vezes preço do combustível (€/ltr)

\(c_h(x)=1,4 \left(2 + \frac{x^2}{600}\right)\) (€/h)

Para fazer 450km a \(x\) km/h o condutor demora quantas horas?

demorará \(\frac{450}{x}\) horas!

logo o custo total do combustível do camião é o custo por hora vezes o nº de horas

\(c_t(x)=1,4 \frac{450}{x} \left(2 + \frac{x^2}{600}\right)\)

todavia temos de adicionar o custo do condutor que recebe D €/h

Assim o custo total em função da velocidade é (camião+condutor):

\(c_T(x)=1,4 \frac{450}{x} \left(2 + \frac{x^2}{600}\right)+D \frac{450}{x}\)

agora é só derivar e achar mínimos considerando que \(x\in[40,120]\)

(se as contas não me falham)