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| eq. diferencial - xy'=y+x-1 , y(1)=1 https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=17&t=119 |
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| Autor: | Filipa Alfa [ 05 jan 2012, 12:21 ] |
| Título da Pergunta: | eq. diferencial - xy'=y+x-1 , y(1)=1 |
A função y(x)= x log (x) + x é solução do problema de condição inicial xy' = y +x - 1 , y(1)=1 Verdadeiro ou Falso? |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 05 jan 2012, 17:28 ] |
| Título da Pergunta: | Re: funçao linear |
Resolvamos então... \(xy' = y +x - 1 \ \ y(1)=1\) Desenvolvendo... \(xy'= y+x-1\) \(y'=\frac{y+x-1}{x}\) \(y'=\frac{y}{x}+1-\frac{1}{x}\) \(y'-\frac{1}{x}y=\frac{x-1}{x}\) Estamos então perante uma equação diferencial de primeira ordem que são do género: \(\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)\) e têm como solução: \(y = e^{-\int_{}^{} P(x)\,dx} \int_{}^{} e^{\int_{}^{} P(x)\,dx} Q(x)\,dx + Ce^{-\int_{}^{} P(x)\,dx}\) Neste caso \(P(x)=-\frac{1}{x}\) e \(Q(x)=\frac{x-1}{x}\) Calculemos então \(\int P(x)dx=\int (-\frac{1}{x})dx=-ln|x|\) o que significa que \(e^{-\int_{}^{} P(x)\,dx}=e^{ln|x|}=x\) e que: \(\int_{}^{} e^{\int_{}^{} P(x)\,dx} Q(x)\,dx=\int e^{-ln|x|}\times \frac{x-1}{x}dx=\int \frac{x-1}{x^2}dx=\int \frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}dx=ln|x|+\frac{1}{x}\) Assim concluimos que \(y=x(ln|x|+\frac{1}{x})+Cx\) Como \(y(1)=1\) \(1=ln(1)+1+C.1 \Leftrightarrow C=0\) Assim a solução é \(y=x.ln|x|+1\) é falso!!! |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 05 jan 2012, 17:35 ] |
| Título da Pergunta: | Re: funçao linear |
Outra forma muito mais fácil, estou a ver agora era só substituir a suposta solução \(y\) e \(y'\)na equação e ver se dava correcto Ou seja se \(y= x log (x) + x\) então \(y'=log(x)+2\) Bastava substituir na equação e ficamos com: \(xy' = y +x - 1\) \(x(log(x)+2)=(x log (x) + x)+x-1\) \(x.log(x)+2x=x.log(x)+2x-1\) \(0=-1\) a resposta é: falso |
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