Fórum de Matemática
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Resolva a equação homogênea \((5x-y)dx+3xdy=0\)

Eu resolvi dividindo por x e depois substituindo \(u=\frac{y}{x}\)
no final cheguei a \(\frac{-3}{4}ln(4u+5)=\frac{1}{x}\)+C , pensei em colocar tudo na base e mas mesmo assim nao consegui chegar ao gabarito que é \(\frac{-5}{2}+Cx^{1/3}\)

Resultado correto não é \(-\frac{5}{2}+Cx^{\frac{1}{3}}\), resultado correto é \(-\frac{5}{2}x+Cx^{\frac{1}{3}}\)

É verdade, acabei esquecendo de colocar esse 'x' na postagem, mas de qualquer forma, não sei como chegar ... poderia me ajudar ?

\(y'=\frac{1}{3}\frac{y}{x}-\frac{5}{3}\)

\(u=\frac{y}{x}\Rightarrow y=ux\Rightarrow y'=u'x+u\)

\(u'x+u=\frac{1}{3}u-\frac{5}{3}\Rightarrow u'x=-\frac{2}{3}u-\frac{5}{3}\)

\(\frac{du}{\frac{2}{3}u+\frac{5}{3}}=-\frac{dx}{x}\)

\(\frac{3}{2}\ln(\frac{2}{3}u+\frac{5}{3})=-\ln(-x)+C=\ln(-\frac{C}{x})=\ln(\frac{C_1}{x})\)

\(\ln(\frac{2}{3}u+\frac{5}{3})=\ln(\frac{C_1}{x^{\frac{2}{3}}})\)

\(\frac{2}{3}u+\frac{5}{3}=\frac{C_1}{x^{\frac{2}{3}}}\Rightarrow u=\frac{3}{2}\frac{C_1}{x^{\frac{2}{3}}}-\frac{5}{2}=\frac{C_2}{x^{\frac{2}{3}}}-\frac{5}{2}\)

\(y=C_2x^{\frac{1}{3}}-\frac{5}{2}x\)

Relativamente à resolução do colega skaa, acrescento apenas que em geral se deve ter maiores precauções na fase de primitivação... Apesar de a solução final estar, neste caso, definida em \(\mathbb{R}\), os passos intermédios implicariam a validade dos cálculos apenas para valores negativos de x. Este inconveniente seria evitado considerando nos cálculos que

\(\int \frac 1x dx = \log |x| + C\), ao invés de dizer que \(\int \frac 1x dx = \log x + C\), já que a primeira expressão está definida para \(x \ne 0\), enquanto que a segunda apenas está definida para \(x>0.\)

Obrigada skaa e sobolev, eu só não consegui compreender o porque que da quinta linha pra sexta o x ficou x^2/3, qual seria a explicação pra isso ?

O coeficiente 3/2 que multiplica o logaritmo do lado esquerdo da igualdade passou para o lado direito ficando 2/3, que depois passou para dentro do logaritmo como potência.

Ah entendi, muito obrigada