Ah entendi, muito obrigada
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| equação diferencial homogênea dificuldade na solução final https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=17&t=12036 |
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| Autor: | PRADO [ 19 nov 2016, 20:18 ] |
| Título da Pergunta: | equação diferencial homogênea dificuldade na solução final |
Resolva a equação homogênea \((5x-y)dx+3xdy=0\) Eu resolvi dividindo por x e depois substituindo \(u=\frac{y}{x}\) no final cheguei a \(\frac{-3}{4}ln(4u+5)=\frac{1}{x}\)+C , pensei em colocar tudo na base e mas mesmo assim nao consegui chegar ao gabarito que é \(\frac{-5}{2}+Cx^{1/3}\) |
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| Autor: | skaa [ 21 nov 2016, 18:54 ] |
| Título da Pergunta: | Re: equação diferencial homogênea dificuldade na solução final |
Resultado correto não é \(-\frac{5}{2}+Cx^{\frac{1}{3}}\), resultado correto é \(-\frac{5}{2}x+Cx^{\frac{1}{3}}\) |
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| Autor: | PRADO [ 22 nov 2016, 03:26 ] |
| Título da Pergunta: | Re: equação diferencial homogênea dificuldade na solução final |
É verdade, acabei esquecendo de colocar esse 'x' na postagem, mas de qualquer forma, não sei como chegar ... poderia me ajudar ? |
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| Autor: | skaa [ 22 nov 2016, 16:03 ] |
| Título da Pergunta: | Re: equação diferencial homogênea dificuldade na solução final |
\(y'=\frac{1}{3}\frac{y}{x}-\frac{5}{3}\) \(u=\frac{y}{x}\Rightarrow y=ux\Rightarrow y'=u'x+u\) \(u'x+u=\frac{1}{3}u-\frac{5}{3}\Rightarrow u'x=-\frac{2}{3}u-\frac{5}{3}\) \(\frac{du}{\frac{2}{3}u+\frac{5}{3}}=-\frac{dx}{x}\) \(\frac{3}{2}\ln(\frac{2}{3}u+\frac{5}{3})=-\ln(-x)+C=\ln(-\frac{C}{x})=\ln(\frac{C_1}{x})\) \(\ln(\frac{2}{3}u+\frac{5}{3})=\ln(\frac{C_1}{x^{\frac{2}{3}}})\) \(\frac{2}{3}u+\frac{5}{3}=\frac{C_1}{x^{\frac{2}{3}}}\Rightarrow u=\frac{3}{2}\frac{C_1}{x^{\frac{2}{3}}}-\frac{5}{2}=\frac{C_2}{x^{\frac{2}{3}}}-\frac{5}{2}\) \(y=C_2x^{\frac{1}{3}}-\frac{5}{2}x\) |
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| Autor: | Sobolev [ 22 nov 2016, 16:54 ] |
| Título da Pergunta: | Re: equação diferencial homogênea dificuldade na solução final [resolvida] |
Relativamente à resolução do colega skaa, acrescento apenas que em geral se deve ter maiores precauções na fase de primitivação... Apesar de a solução final estar, neste caso, definida em \(\mathbb{R}\), os passos intermédios implicariam a validade dos cálculos apenas para valores negativos de x. Este inconveniente seria evitado considerando nos cálculos que \(\int \frac 1x dx = \log |x| + C\), ao invés de dizer que \(\int \frac 1x dx = \log x + C\), já que a primeira expressão está definida para \(x \ne 0\), enquanto que a segunda apenas está definida para \(x>0.\) |
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| Autor: | PRADO [ 23 nov 2016, 00:15 ] |
| Título da Pergunta: | Re: equação diferencial homogênea dificuldade na solução final |
Obrigada skaa e sobolev, eu só não consegui compreender o porque que da quinta linha pra sexta o x ficou x^2/3, qual seria a explicação pra isso ? |
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| Autor: | Sobolev [ 23 nov 2016, 09:06 ] |
| Título da Pergunta: | Re: equação diferencial homogênea dificuldade na solução final |
O coeficiente 3/2 que multiplica o logaritmo do lado esquerdo da igualdade passou para o lado direito ficando 2/3, que depois passou para dentro do logaritmo como potência. |
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| Autor: | PRADO [ 23 nov 2016, 17:36 ] |
| Título da Pergunta: | Re: equação diferencial homogênea dificuldade na solução final |
Ah entendi, muito obrigada
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