1º passo) Vamos procurar soluções na forma:
\(u(x,t)=X(x)\cdot T(t)\)
Pelo que temos:
\(XT'=kX''T\Rightarrow \frac{T'}{T}=k\cdot \frac{X''}{X}=-c\)
\(\begin{cases} T'=-Tc & \\ X''+cX=0 & \end{cases}\)
2º passo) Resolver \(X''+cX=0\)
\(\lambda ^2+c=0\Rightarrow \lambda=\pm \sqrt{-c}\)
Para c<0:
\(X(x)=a\cdot e^{-\sqrt{-c}\, x}+b\cdot e^{\sqrt{-c}\, x}\)
Tomando as condições:
\(a+b=a\cdot e^{-\sqrt{-c}\, \pi }+b\cdot e^{\sqrt{-c}\, \pi}\Rightarrow a=b=0\)
Sendo que 0 é a solução trivial.
Para c=0:
\(X(x)=a+bx\)
Tomando as condições:
\(a=a+b\cdot \pi =0\Rightarrow a=b=0\)
Solução trivial.
Para c>0:
Temos que:
\(\lambda =i\sqrt{c}\)
\(X(x)=a\cdot \cos(\sqrt{c}\, x) + b\cdot \sin(\sqrt{c}\, x)\)
Tomando as condições:
\(a=a\cdot \cos(\sqrt{c}\, \pi ) + b\cdot \sin(\sqrt{c}\, \pi)=0\Rightarrow a=0\, \wedge \, b\cdot \sin(\sqrt{c}\, \pi)=0\)
Sendo que não queremos b=0 já que obteríamos a solução trivial. Fazemos:
\(\sin(\sqrt{c}\, \pi)=0\Rightarrow \sqrt{c}\, \pi=n\pi\Rightarrow\sqrt{c}=n\Rightarrow c=n^2\)
Desta feita temos a solução:
\(X(x)=b\cdot \sin(nx)\)
3º passo) Resolver \(T'=-Tn^2\)
\(T(t)=a\cdot e^{-n^2t}\)
4º passo) Resolver para a condição de valor inicial.
\(u(x,t)=X(x)\cdot T(t)=c_n\cdot \sin(nx)\cdot e^{-n^2t}\)
\(u(x,0)=c_n\cdot \sin(nx)=2\cdot \sin(x)\Rightarrow c_n=\begin{cases} 2, & \text{ se } n=1 \\ 0, & \text{ se } n\neq 1 \end{cases}\)
Pelo que temos como resposta:
\(u(x,t)=2\cdot \sin(x)\cdot e^{-t}\)
Em que neste caso k=1 para qualquer x e t pertencente a R.
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