Otimização com restrições de igualdade

[aacc]

Boas!

Alguém me pode ajudar no seguinte problema:

Prove que a função z = y f(x) + g (x) não tem extremos se as funções f, g : R→R admitirem segunda derivada contínua e as equações f (x) = 0 e df (x) / dx = 0 não tiverem raízes comuns.

Atentamente,

aacc

[josesousa]

Caríssimo,

O y é uma função de x ou deveria ser apenas x?

[Rui Carpentier]

Penso que se está-se a considerar \(z\) como uma função de \(\mathbb{R}^2\) em \(\mathbb{R}\). Nesse caso é só questão de observar que um ponto \((x,y)\) é ponto de estacionaridade (i.e. \(\nabla z(x,y)=(0,0)\)) somente se \(f(x)=0\) e que não é ponto de sela apenas no caso em que \(f'(x)=0\) (note-se que se o determinante da matriz hessiana num ponto de estacionaridade for negativo temos necessariamente um ponto de sela nesse ponto). Posto isto, a conclusão do exercício e respetivos cálculos não são difíceis.