Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

\(\int \frac{x^2+9x+8}{x^2+x-6}\)dx

Ferreira, a primeira coisa fazer é efetuar a divisão indicada. Então,
\(\int \frac{x^2+9x+8}{x^2+x-6}dx=\int (1+\frac{8x+14}{x^2+x-6})dx=\int dx+\int \frac{8x+14}{x^2+x-6}dx=x+\int \frac{8x+14}{x^2+x-6}dx\\ \frac{8x+14}{x^2+x-6}=\frac{8x+14}{(x-2)(x+3)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+3}\\ 8x+14=A(x+3)+B(x-2)\\ 8x+14=Ax+3A+Bx-2B\\ 8x+14=(A+B)x+3A-2B\\ (1)A+B=8\ (coeficiente\ de\ x)\ e\ (2)3A-2B=14\ (termo\ independente)\\ De\ (1)\ e\ (2)\ saem\ A=6\ e\ B=2\\ \int \frac{8x+14}{x^2+x-6}=\int (\frac{6}{x-2}+\frac{2}{x+3})dx=6\int \frac{dx}{x-2}+2\int \frac{dx}{x+3}=6ln(x-2)+2ln(x+3)\\ Finalmente\ \int \frac{x^2+9x+8}{x^2+x-6}dx=x+6ln(x-2)+2ln(x+3)+C\)