as equações diferenciais de primeira ordem

[henriqueseap]

bom dia
resolva as equações diferenciais dadas:

\(\left ( e^{y}+1 \right )^{2}e^{-y}dx+ \left ( e^{x}+1 \right )^{3}e^{-x}dy=0\)

o gabarito é \(\left ( e^{x}+1 \right )^{-2}+2\left ( e^{y}+1 \right )^{-1}=c\)

Anexos

[danko71]

\(\int (e^y+1)^{-2}e^ydx+\int(e^x+1)^{-3}e^xdy=0\\ u=e^y+1\rightarrow du=e^ydx\rightarrow dx=\frac{du}{e^y}\\ \int(e^x+1)^{-2}e^ydx=\int u^{-2}.e^y.\frac{du}{e^y}=\int u^{-2}du=-u^{-1}=-(e^y+1)^{-1}+C\\ u=e^x+1\rightarrow du=e^xdy\rightarrow dy=\frac{du}{e^x}\\ \int (e^x+1)^{-3}e^xdy=\int u^{-3}.x^x.\frac{du}{e^x}=\int u^{-3}du=-\frac{1}{2}u^{-2}=-\frac{1}{2}(e^x+1)^{-2}+C\\ -\left [ \frac{1}{2}(e^x+1)^{-2}+(e^y+1)^{-1} \right ]+C=0\\ (e^x+1)^{-2}+2(e^y+1)^{-1}-C=0\\ (e^x+1)^{-2}+2(e^y+1)^{-1}=C\)