Qual o tipo dessa EDO?

[carol.fe]

x²y'= 1-x²+y² -x²y²

Não tenho ideia nem de como começar

[Estanislau]

É separável, basta fatorar o lado direito.

[danko71]

\(X^2Y'=1-X^2+Y^2-X^2Y^2\)
EDO de variáveis separáveis

Resolvendo, passo a passo
\(x^2\frac{dy}{dx}=1-x^2+y^2-x^2y^2\)

Pondo \(x^2\) em evidência no lado direito da igualdade
\(x^2\frac{dy}{ex}=1-x^2(1+y^2)+y^2\)

Dividindo tudo por \(x^2\)
\(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x^2}-(1+y^2)+\frac{y^2}{x^2}\)

Pondo em evidência \(\frac{1}{x^2}\)
\(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x^2}(1+y^2)-(1+y^2)\)

Multiplicando tudo por dx
\(dy=(\frac{1}{x^2}(1+y^2)-(1+y^2))dx\)

Dividindo por \(1+y^2\)

\(\frac{dy}{1+y^2}=(\frac{1}{x^2}.\frac{1+y^2}{1+y^2}-\frac{1+y^2}{1+y^2})dx\)

\(\frac{dy}{1+y^2}=(\frac{1}{x^2}-1)dx\)

Integrando
\(\int \frac{dy}{1+y^2}=\int (\frac{1}{x^2}-1)dx=\int \frac{dx}{x^2}-\int dx=\int x^{-2}dx-\int dx\)
\(\int \frac{dy}{1+y^2}=-\frac{1}{x}-x\)
\(arc tg(y)=-\frac{1}{x}-x+C\)

\(y=tg(-\frac{1}{x}-x+c)\)

\(y=tg(\frac{cx-x^2-1}{x})\)

Para essa última integral, Carol, dê uma olhada no anexo e, em seu livro, procure por INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA.

Cordiais saudações

[Estanislau]

A solução é medíocre e a resposta está incorreta. Para calcular aquela última integral não são precisas substutuições nenhumas, basta saber a derivada de arctg. É uma integral comum e vale a pena sabê-la de cor.

Aliás, este é um fórum de ajuda o de resolução gratuita de TPC?

[danko71]

Prezado Estanislau:

Ao classificar minha resolução de medíocre, fez uso desnecessário de arrogância, grosseria e deselegância. De fato, o resultado final estava errado; eu fiz a correção.