\(X^2Y'=1-X^2+Y^2-X^2Y^2\)
EDO de variáveis separáveis
Resolvendo, passo a passo
\(x^2\frac{dy}{dx}=1-x^2+y^2-x^2y^2\)
Pondo \(x^2\) em evidência no lado direito da igualdade
\(x^2\frac{dy}{ex}=1-x^2(1+y^2)+y^2\)
Dividindo tudo por \(x^2\)
\(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x^2}-(1+y^2)+\frac{y^2}{x^2}\)
Pondo em evidência \(\frac{1}{x^2}\)
\(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x^2}(1+y^2)-(1+y^2)\)
Multiplicando tudo por dx
\(dy=(\frac{1}{x^2}(1+y^2)-(1+y^2))dx\)
Dividindo por \(1+y^2\)
\(\frac{dy}{1+y^2}=(\frac{1}{x^2}.\frac{1+y^2}{1+y^2}-\frac{1+y^2}{1+y^2})dx\)
\(\frac{dy}{1+y^2}=(\frac{1}{x^2}-1)dx\)
Integrando
\(\int \frac{dy}{1+y^2}=\int (\frac{1}{x^2}-1)dx=\int \frac{dx}{x^2}-\int dx=\int x^{-2}dx-\int dx\)
\(\int \frac{dy}{1+y^2}=-\frac{1}{x}-x\)
\(arc tg(y)=-\frac{1}{x}-x+C\)
\(y=tg(-\frac{1}{x}-x+c)\)
\(y=tg(\frac{cx-x^2-1}{x})\)
Para essa última integral, Carol, dê uma olhada no anexo e, em seu livro, procure por INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA.
Cordiais saudações
Anexo:
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