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MensagemEnviado: 26 nov 2017, 02:21 
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Mostre que toda solução \(x^2y'' - xy' + y = 1\) tende a 1 quando x tende a 0.

O que eu devo fazer em questões que exigem para mostrar a tendencia da equação quando o x segue outra tendencia?


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MensagemEnviado: 26 nov 2017, 20:11 
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hollan,
esta equação de cauchy, quando \(x \to 0\), não conduz a uma indeterminação, não necessitamos portanto de usar o método Cauchy/L´Hôpital.
veja:
\(x^2{y}''-x{y}'+y=1
x^2{y}''-x{y}'+(y-1)=0\)
eq. característica correspondente (derivação):
\(ar^2+(b-a)r+c={0}
r^2-2r+1={0}
\lim_{r \to 0}(r^2-2r+1)=\)
dividindo equação por \(r^2\), temos:
\(\frac{\lim_{r \to 0}(r^2-2r+1)}{\lim_{r \to 0}(r^2)}=\frac{1}{0}=+\infty\)

condição para regra de Cauchy/L´Hôpital:
\(se,
\lim_{x \to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{0}{0}=\frac{\infty}{\infty}
entao,
\lim_{x \to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to c}\frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}\)

Solução geral da equação na forma de potência:
soma das raízes:
\(S=\frac{-b}{a}
S=2\)
Produto das raízes:
\(P=\frac{c}{a}
P=1\)
logo,
\(r_1=r_2=1
y(x)=C_1x^{r_1}+C_2x^{r_2}
y(x)=C_1x+C_2x
y(x)=x(C_1+C_2)\)

_________________
Vivemos em um mundo onde toda informação é falsa até que se prove o contrário.
A Verdade está a caminho.


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