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| Método de Cauchy Euler, quando a solução tende a um valor e o X a outro https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=17&t=13416 |
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| Autor: | hollan [ 26 nov 2017, 02:21 ] |
| Título da Pergunta: | Método de Cauchy Euler, quando a solução tende a um valor e o X a outro |
Mostre que toda solução \(x^2y'' - xy' + y = 1\) tende a 1 quando x tende a 0. O que eu devo fazer em questões que exigem para mostrar a tendencia da equação quando o x segue outra tendencia? |
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| Autor: | jorgeluis [ 26 nov 2017, 20:11 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Método de Cauchy Euler, quando a solução tende a um valor e o X a outro |
hollan, esta equação de cauchy, quando \(x \to 0\), não conduz a uma indeterminação, não necessitamos portanto de usar o método Cauchy/L´Hôpital. veja: \(x^2{y}''-x{y}'+y=1 x^2{y}''-x{y}'+(y-1)=0\) eq. característica correspondente (derivação): \(ar^2+(b-a)r+c={0} r^2-2r+1={0} \lim_{r \to 0}(r^2-2r+1)=\) dividindo equação por \(r^2\), temos: \(\frac{\lim_{r \to 0}(r^2-2r+1)}{\lim_{r \to 0}(r^2)}=\frac{1}{0}=+\infty\) condição para regra de Cauchy/L´Hôpital: \(se, \lim_{x \to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{0}{0}=\frac{\infty}{\infty} entao, \lim_{x \to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to c}\frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}\) Solução geral da equação na forma de potência: soma das raízes: \(S=\frac{-b}{a} S=2\) Produto das raízes: \(P=\frac{c}{a} P=1\) logo, \(r_1=r_2=1 y(x)=C_1x^{r_1}+C_2x^{r_2} y(x)=C_1x+C_2x y(x)=x(C_1+C_2)\) |
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