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MensagemEnviado: 29 nov 2017, 14:53 
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Alguém poderia me ajudar como faço para resolver essa questão?

Se as equações diferenciais y" - 3y' + 2y = 0 e y" + by = 0 têm uma solução não nula em comum, então b é igual a:

a) 1 ou 2
b) -2 ou -1
c) -4 ou -1
d) 4 ou 1
e) -3 ou 2


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MensagemEnviado: 29 nov 2017, 21:08 
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alan,
não sou bom em Equações Diferenciais, mas, comparando as duas EDO lineares de 2a ordem com a equação característica, temos:
\({y}''-3{y}'+2y=0\)
solução:
\(y=e^{rx}
r^2.e^{rx}-3r.e^{rx}+2e^{rx}={0}
(r^2-3r+2).e^{rx}={0}
r^2-3r+2={0}
\Delta=b^2-4ac
\Delta=1
r=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}
r_1=1
ou
r_2=2\)

\({y}''-0{y}'+by={0}\)
solução:
\(y=e^{rx}
r^2+b={0}
r=\pm\sqrt{-b}\)
r não existe em R

como existe pelo menos uma solução não nula entre as duas EDO´s, então, a solução está na 1a EDO, ou seja,
\(r_1=1
ou
r_2=2\)

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MensagemEnviado: 30 nov 2017, 12:53 
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Obrigado Jorge, pelo gabarito da prova seria a alternativa b), mas já me ajudou a entender a questão.


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MensagemEnviado: 30 nov 2017, 13:02 
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alan,
encontrei o erro.
a solução da 2a EDO é:
\(e^{-rx}\)
por isso o resultado é
\(-1
ou
-2\)

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MensagemEnviado: 11 mai 2018, 19:58 
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Incorreto. o gabarito da questão é a letra C) -4 e -1

Também estou na duvida.. se alguém souber, por favor. diga aqui como faz. Valeu


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MensagemEnviado: 14 mai 2018, 13:49 
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A solução geral da primeira equação é

\(y = c_1 e^x+ c_2 e^{2x}\)

A solução da segunda equação depende do facto de b ser positivo, negativo ou nulo

Se b >0, \(y = k_1 \cos(\sqrt{b}x) + k_2 \sin(\sqrt{b} x)\)

Se b = 0, \(y= k_1+ k_2 x\)

Se b<0, \(y = k_1e^{\sqrt{-b} x} + k_2 e^{- \sqrt{-b} x}\)

Assim, vemos que apenas no caso de b <0 existem soluções em comum. Para o expoente ser um dos que aparece na solução da primeira equaç
ao deve ter \(\sqrt{-b}= 1\) ou \(\sqrt{-b}= 2\), o que conduz a ter \(b = -1\) ou \(b=-4\).


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MensagemEnviado: 14 mai 2018, 14:56 
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A tal solução comum seria:

* No caso b=-1 \(y(x)= c e^x\)

* No caso b=-4 \(y(x)=c e^{2x}\)


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