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EDO o que é "ter uma solução não nula em comum" https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=17&t=13445 |
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Autor: | alan_lima [ 29 nov 2017, 14:53 ] |
Título da Pergunta: | EDO o que é "ter uma solução não nula em comum" |
Alguém poderia me ajudar como faço para resolver essa questão? Se as equações diferenciais y" - 3y' + 2y = 0 e y" + by = 0 têm uma solução não nula em comum, então b é igual a: a) 1 ou 2 b) -2 ou -1 c) -4 ou -1 d) 4 ou 1 e) -3 ou 2 |
Autor: | jorgeluis [ 29 nov 2017, 21:08 ] |
Título da Pergunta: | Re: EDO o que é "ter uma solução não nula em comum" |
alan, não sou bom em Equações Diferenciais, mas, comparando as duas EDO lineares de 2a ordem com a equação característica, temos: \({y}''-3{y}'+2y=0\) solução: \(y=e^{rx} r^2.e^{rx}-3r.e^{rx}+2e^{rx}={0} (r^2-3r+2).e^{rx}={0} r^2-3r+2={0} \Delta=b^2-4ac \Delta=1 r=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} r_1=1 ou r_2=2\) \({y}''-0{y}'+by={0}\) solução: \(y=e^{rx} r^2+b={0} r=\pm\sqrt{-b}\) r não existe em R como existe pelo menos uma solução não nula entre as duas EDO´s, então, a solução está na 1a EDO, ou seja, \(r_1=1 ou r_2=2\) |
Autor: | alan_lima [ 30 nov 2017, 12:53 ] |
Título da Pergunta: | Re: EDO o que é "ter uma solução não nula em comum" |
Obrigado Jorge, pelo gabarito da prova seria a alternativa b), mas já me ajudou a entender a questão. |
Autor: | jorgeluis [ 30 nov 2017, 13:02 ] |
Título da Pergunta: | Re: EDO o que é "ter uma solução não nula em comum" |
alan, encontrei o erro. a solução da 2a EDO é: \(e^{-rx}\) por isso o resultado é \(-1 ou -2\) |
Autor: | Pedrovieira16 [ 11 mai 2018, 19:58 ] |
Título da Pergunta: | Re: EDO o que é "ter uma solução não nula em comum" |
Incorreto. o gabarito da questão é a letra C) -4 e -1 Também estou na duvida.. se alguém souber, por favor. diga aqui como faz. Valeu |
Autor: | PierreQuadrado [ 14 mai 2018, 13:49 ] |
Título da Pergunta: | Re: EDO o que é "ter uma solução não nula em comum" |
A solução geral da primeira equação é \(y = c_1 e^x+ c_2 e^{2x}\) A solução da segunda equação depende do facto de b ser positivo, negativo ou nulo Se b >0, \(y = k_1 \cos(\sqrt{b}x) + k_2 \sin(\sqrt{b} x)\) Se b = 0, \(y= k_1+ k_2 x\) Se b<0, \(y = k_1e^{\sqrt{-b} x} + k_2 e^{- \sqrt{-b} x}\) Assim, vemos que apenas no caso de b <0 existem soluções em comum. Para o expoente ser um dos que aparece na solução da primeira equaç ao deve ter \(\sqrt{-b}= 1\) ou \(\sqrt{-b}= 2\), o que conduz a ter \(b = -1\) ou \(b=-4\). |
Autor: | PierreQuadrado [ 14 mai 2018, 14:56 ] |
Título da Pergunta: | Re: EDO o que é "ter uma solução não nula em comum" |
A tal solução comum seria: * No caso b=-1 \(y(x)= c e^x\) * No caso b=-4 \(y(x)=c e^{2x}\) |
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