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me ajuda não estou entendendo

Procurou no seu caderno ou na bibliografia indicada o significado de ponto singular irregular? Neste caso o ponto \(x=0\) seria singular regular se

i. \((x-0) \cdot \frac{\alpha}{x^s}\) for analítica.
ii. \((x-0)^2 \cdot \frac{\beta}{x^t}\) for analítica.

Ora, \(\frac{\alpha}{x^{s-1}}\) é analítica em x=0 se e só se \(s \leq 1\), e \(\frac{\beta}{x^{t-2}}\) é analítica em x=0 se e só se \(t \leq 2\). Como x=0 será irregular se não for regular, concluímos que é irregular se \(s>1\) ou se \(t>2\).

Para as restantes questões seria mais útil se se pusesse um pouco mais a par da matéria... Bom estudo!

é possível me ajudar na letra "b"?

Deixando de parte questões da convergência das séries de potências envolvidas, podemos formalmente derivar termo a termo a série de potências que representa y...
\(y = \sum_{n=0}^{+\infty} c_n x^{r+n}
y'(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} c_n (r+n) x^{r+n-1}
y''(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} c_n(r+n)(r+n-1) x^{r+n-2}\)

Assim, se y for solução da equação,

[tex]\sum_{n=0}^{+\infty} c_n(r+n)(r+n-1) x^{r+n-2} + \frac{\alpha}{x^2} \sum_{n=0}^{+\infty} c_n (r+n) x^{r+n-1} + \frac{\beta}{x^2} \sum_{n=0}^{+\infty} c_n x^{r+n} = 0

Consegue prosseguir?

mas no caso eu tenho que utilizar teorema de frobenius?

Sim, o teorema que refere permite resolver a questão.