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 Título da Pergunta: EDO homogenea por substituição:
MensagemEnviado: 09 dez 2017, 18:30 
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Por favor, alguém poderia me falar a resposta da EDO:
x²+y²-2xyy'=0
:(


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MensagemEnviado: 06 fev 2018, 18:59 
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Segue solução


Anexos:
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SOL.jpg [ 813.04 KiB | Visualizado 2969 vezes ]
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MensagemEnviado: 07 fev 2018, 09:56 
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A resolução está muito desfocada... É melhor usar os comandos TeX disponíveis... Como se vê facilmente, trata-se de uma equação diferencial que se pode escrever na forma \(y' = f(y/x)\), concretamente

\(y' = \dfrac{x^2+y^2}{2xy} = \dfrac{1+(y/x)^2}{2 (y/x)}\),

portando uma equação homogénea. Como indicou matdescomp, fazendo a mudança de variável \(v = y/x\), temos que \(y'=(vx)' = v + x v'\), pelo que a equação é equivalente a

\(\dfrac{2v}{1-v^2} dv = \frac 1x dx \Rightarrow \int \dfrac{2v}{1-v^2} dv = \int \frac 1x dx \Leftrightarrow - \ln|1-v^2| = \ln |x| + C\).

Depois é só desfazer a mudança de variável... se pretender obter a solução explícita deve ter muita atenção aos módulos...


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