Por favor, alguém poderia me falar a resposta da EDO:
x²+y²-2xyy'=0
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| EDO homogenea por substituição: https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=17&t=13495 |
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| Autor: | ivanorzg [ 09 dez 2017, 18:30 ] |
| Título da Pergunta: | EDO homogenea por substituição: |
Por favor, alguém poderia me falar a resposta da EDO: x²+y²-2xyy'=0
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| Autor: | matdescomp [ 06 fev 2018, 18:59 ] | ||
| Título da Pergunta: | Re: EDO homogenea por substituição: | ||
Segue solução
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| Autor: | PierreQuadrado [ 07 fev 2018, 09:56 ] |
| Título da Pergunta: | Re: EDO homogenea por substituição: |
A resolução está muito desfocada... É melhor usar os comandos TeX disponíveis... Como se vê facilmente, trata-se de uma equação diferencial que se pode escrever na forma \(y' = f(y/x)\), concretamente \(y' = \dfrac{x^2+y^2}{2xy} = \dfrac{1+(y/x)^2}{2 (y/x)}\), portando uma equação homogénea. Como indicou matdescomp, fazendo a mudança de variável \(v = y/x\), temos que \(y'=(vx)' = v + x v'\), pelo que a equação é equivalente a \(\dfrac{2v}{1-v^2} dv = \frac 1x dx \Rightarrow \int \dfrac{2v}{1-v^2} dv = \int \frac 1x dx \Leftrightarrow - \ln|1-v^2| = \ln |x| + C\). Depois é só desfazer a mudança de variável... se pretender obter a solução explícita deve ter muita atenção aos módulos... |
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