EDO homogenea por substituição:
09 dez 2017, 18:30
Por favor, alguém poderia me falar a resposta da EDO:
x²+y²-2xyy'=0
x²+y²-2xyy'=0
Re: EDO homogenea por substituição:
06 fev 2018, 18:59
Segue solução
- Anexos
-
Re: EDO homogenea por substituição:
07 fev 2018, 09:56
A resolução está muito desfocada... É melhor usar os comandos TeX disponíveis... Como se vê facilmente, trata-se de uma equação diferencial que se pode escrever na forma \(y' = f(y/x)\), concretamente
\(y' = \dfrac{x^2+y^2}{2xy} = \dfrac{1+(y/x)^2}{2 (y/x)}\),
portando uma equação homogénea. Como indicou matdescomp, fazendo a mudança de variável \(v = y/x\), temos que \(y'=(vx)' = v + x v'\), pelo que a equação é equivalente a
\(\dfrac{2v}{1-v^2} dv = \frac 1x dx \Rightarrow \int \dfrac{2v}{1-v^2} dv = \int \frac 1x dx \Leftrightarrow - \ln|1-v^2| = \ln |x| + C\).
Depois é só desfazer a mudança de variável... se pretender obter a solução explícita deve ter muita atenção aos módulos...
\(y' = \dfrac{x^2+y^2}{2xy} = \dfrac{1+(y/x)^2}{2 (y/x)}\),
portando uma equação homogénea. Como indicou matdescomp, fazendo a mudança de variável \(v = y/x\), temos que \(y'=(vx)' = v + x v'\), pelo que a equação é equivalente a
\(\dfrac{2v}{1-v^2} dv = \frac 1x dx \Rightarrow \int \dfrac{2v}{1-v^2} dv = \int \frac 1x dx \Leftrightarrow - \ln|1-v^2| = \ln |x| + C\).
Depois é só desfazer a mudança de variável... se pretender obter a solução explícita deve ter muita atenção aos módulos...