Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Boa noite sou novo aqui,
alguém poderia me ajudar a solucionar o seguinte problema:
Diferenciar cada uma das seguintes relações em relação a x e, usando o resultado para eliminar a constante c, obtenha uma equação diferencial de primeira ordem da qual a relação dada define uma solução de um parâmetro
Exemplo 1
y=ce^x
y'=ce^x
y'=y
y'-y=0

Exercícios
a) y=((c^e)^x^2)+2x
b) y=1/(c-x^2)
c) (x^2)+(y^2)=c^2

jcbds,
parece simples, desde que se conheçam as propriedades dos logaritmos naturais e das derivadas:
a)
\(y=(C^e)^{x^2}+2x
y=C^{ex^2}+2x\)
como,
\(\ln x^2=0\)
então,
\(y=C^{ex^2}+2x
y=1+2x\)
consequentemente,
\({y}'= 2\)
assim,
\({y}'-y=0
2-(1+2x)=0
x=\frac{1}{2}\)

b) corrigida
\(y= \frac{1}{(C-x^2)}
{y}'= \frac{{-(C-x^2)}'}{(C-x^2)^2}
{y}'= \frac{-(-2x)}{(C-x^2).(C-x^2)}
{y}'= \frac{(2x)}{(C-x^2).(C-x^2)}\)
assim,
\({y}'=y^2
\frac{(2x)}{(C-x^2).(C-x^2)}= \frac{1}{(C-x^2).(C-x^2)}
2x=1
x=\frac{1}{2}\)

_________________
Vivemos em um mundo onde toda informação é falsa até que se prove o contrário.
A Verdade está a caminho.

Na b) no livro a resposta é y'-y^2=0
eu também achei esse valor derivando, eu queria só achar 1 relação pra determinar essa proporcionalidade pra eliminar as constantes.
Todas as questões eu resolvi, só não coloco as respostas que achei agora, pq faltam 4 questões pra fechar meu planejamento diário de estudos,
caso possa me ajudar, me explique como eu chego ao resultado dessas equações
y=cx+(c^2)(x^2)
((x-c1)^2)+(y-c2)^2=1
Muito obrigado pela sua resposta

jcbds,
eu corrigi a b), estava com erro de sinal, e coloquei a resposta de acordo com o que você achou no livro.
já as 2 abaixo, não consegui uma maneira de eliminar as constantes, se tiver a resposta, posta aqui pra gente, ok.
outra coisa, a regra do forum é postar uma alínea por pergunta, ok!

c)
\(y=Cx+C^2x^2
{y}'=C+2C^2x
{y}'=y
C+2C^2x=Cx+C^2x^2\)
dividindo a equação por C, temos:
\(Cx^2+(1-2C)x-1={0}\)
se,
\(x \in \mathbb{R}\)
então,
\(\Delta\geq {0}\)
logo,
\(C\left [ -\frac{1}{2},+\frac{1}{2} \right ]\)
consequentemente,
\(C={0} \Leftrightarrow x=1\)

d)
\((x-C_1)^2+(y-C_2)^2=1\)
para que possamos encontrar as raízes dessa equação, precisamos admitir y=0, logo,
\(y=(x-C_1)^2+(-C_2)^2-1
y=(x-C_1)^2+{C_2}^2-1
{y}'=2(x-C_1)\)
desenvolver
\({y}'=y\)
para eliminar as 2 constantes é que é difícil!

_________________
Vivemos em um mundo onde toda informação é falsa até que se prove o contrário.
A Verdade está a caminho.

Jorge,

Trata-se de encontrar equações diferenciais cujas solução sejam as funções propostas... No final tem que obter "equações diferenciais". Não se trata de obter valores de y de x ou de C. por exemplo no caso b), em que se tem
\(y = \frac{1}{c-x^2},\) calculamos \(y' = \frac{2x}{(c-x^2)}\) e verificamos que \(y' = 2x y^2\). Então podemos concluir que a função dada é solução da equação diferencial de primeira ordem \(y' - 2x y^2 = 0.\)

No caso de b) a solução do livro está errada (ou foi mal transcrita).