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Sistemas de equações diferenciais - dúvida
https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=17&t=13584		 Página 1 de 1
Autor:  jcbds [ 25 jan 2018, 04:53 ]
Título da Pergunta:  Sistemas de equações diferenciais - dúvida
alguém poderia me ajudar a resolver esse sistema de equações diferenciais
vou postar aqui o que eu já fiz nele e vocês me ajudam, se puderem.

\(x'+x-y=2e^t\)
\(x''+3x-y'-y=4e^t\)

seguinte eu fiz uma matriz
∆= D+1 -1
D^2 -(D+1)

determinate foi 2D-2

agora, eu estou com dificuldade pra traçar a solução
fiz uns esboços e achei um determinante em x = (-2De^t)-(2e^t) e em y= -2(D-1)²-(e^t)
só queria saber como faço a partir daqui, e se meus calcúlos estão corretos, a resposta é
\(x=(c1)e^t+(c2)cost+(c3)sint\)
\(y=2((c1)-1)e^t+((c2)-(c3))cost+((c2)+(c3))sint\)

Ficaria muito grato se alguém me ajudasse!!!
Autor:  jorgeluis [ 27 jan 2018, 14:42 ]
Título da Pergunta:  Re: Sistemas de equações diferenciais - dúvida
jcbds,
não seria melhor você efetuar a igualdade primeiro:
\({x}'+x-y=2e^t\)
multiplicando a equação por 2, temos:
\(2({x}'+x-y)=4e^t\)
logo,
\(2{x}'+2x-2y={x}''+3x-{y}'-y\)
assim, temos:
\({x}''-2{x}'+x-{y}'+y=0\)
daí, podemos fazer:
\({x}''-2{x}'+x={0}
e
-{y}'+y={0}\)
utilizando a eq. característica, teremos:
\({x}''-2x+x={0}
r^2-2r+1={0}
r=1,::(raiz dupla)\)
solução:
\(Y_x=C_1.e^{r_1t}+C_2.e^{r_2t}
Y_x=C_1.e^{t}+C_2.e^{t}
e
-{y}'+y={0}
-r+1={0}
r=1,::(raiz unica)\)
Solução:
\(Y_y=C.e^{rt}+D
Y_y=C.e^{t}\)
agora, você pode reescrever e aplicar as condições de contorno:
para:
\(x=f(t)
e
y=f(t)
f(t)=C_1cosh{(rt)}+C_2senh{(rt)}\)

dado:
\(rl=\pi
cosh{(rt)}=\frac{e^{rt}+e^{-rt}}{2}
senh{(rt)}=\frac{e^{rt}-e^{-rt}}{2}\)
Autor:  PierreQuadrado [ 01 fev 2018, 12:27 ]
Título da Pergunta:  Re: Sistemas de equações diferenciais - dúvida
Da primeira equação retira que \(y=x'+x-2e^t\). Se substituir y na segunda equação, ficará apenas com \(x'=x\)
, o que lhe permite concluir que \(x(t)=C e^t\). Finalmente pode obter y:

\(y(t)= Ce^t+Ce^t-2e^t = (2C-2) e^t)\)
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