Mostrar que alguma solução da equação diferencial x'=f(x) explode em tempo finito
04 abr 2018, 12:56
Alguém sabe como responder?
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Re: Mostrar que alguma solução da equação diferencial x'=f(x) explode em tempo finito
05 abr 2018, 14:52
Dica: Procure por uma solução do tipo \(x(t)=\gamma(t)x_0\) (com \(x(0)=x_0\)) onde \(x_0\in\mathbb{R}^m\) é o tal ponto não-nulo que satisfaz \(f(x_0)=\lambda x_0\) para algum \(\lambda\) real positivo. Use o facto de f ser homogênea para obter uma EDO em função de \(\gamma\) e só tem de a resolver (não é difícil) e verificar que explode em tempo finito. Talvez seja necessário, dependendo da forma como se interpreta a questão, usar um teorema de existência e unicidade (e.g. teorema de Picard-Lindelof) para garantir que se trata de facto de uma solução inevitável do problema \(x'=f(x)\).
Re: Mostrar que alguma solução da equação diferencial x'=f(x) explode em tempo finito
06 abr 2018, 13:57
Não entendi... É para dar um exemplo?
Re: Mostrar que alguma solução da equação diferencial x'=f(x) explode em tempo finito [resolvida]
07 abr 2018, 21:18
No enunciado é dito que satisfeita umas quantas condições "... então alguma solução da equação diferencial \(x'=f(x)\) explode em tempo finito...". Por isso, sim, na minha interpretação basta arranjar um exemplo. Não estou com isto a dizer que não seja possível resolver de outra forma (com uma demonstração não construtiva), de momento não estou a ver como mas também estou longe de ser um especialista em equações diferenciais.
Aquilo que me levou a considerar esta solução foi observar que se, num ponto \(x_0\), \(f(x_0)\) é múltiplo positivo de \(x_0\) então, por homogeneadade de f, o mesmo é válido para qualquer múltiplo positivo de \(x_0\). Assim sendo, as setas do campo vetorial \(f(x)\) nos pontos da semi-reta \(\{\lambda x_0: \lambda>0\}\) estão alinhadas com essa semi-reta e por isso faz sentido considerar uma solução do tipo \(x(t)=\gamma(t)x_0\).
Depois daqui é só fazer contas: \(x'=f(x) \Leftrightarrow \gamma' x_0=f(\gamma x_0)=\gamma^r f(x_0)=\gamma^r \lambda x_0\Leftrightarrow \frac{\gamma'}{\gamma^r}= \lambda \Rightarrow \frac{1}{\gamma^{r-1}}=C-\lambda (r-1)t \Rightarrow \gamma(t)=\left(\frac{1}{C-\lambda (r-1)t}\right)^{\frac{1}{r-1}}\) que explode quando \(t\to \frac{C}{\lambda (r-1)}\). Nota: se tomarmos \(x(0)=x_0\) então \(C=1\).
Aquilo que me levou a considerar esta solução foi observar que se, num ponto \(x_0\), \(f(x_0)\) é múltiplo positivo de \(x_0\) então, por homogeneadade de f, o mesmo é válido para qualquer múltiplo positivo de \(x_0\). Assim sendo, as setas do campo vetorial \(f(x)\) nos pontos da semi-reta \(\{\lambda x_0: \lambda>0\}\) estão alinhadas com essa semi-reta e por isso faz sentido considerar uma solução do tipo \(x(t)=\gamma(t)x_0\).
Depois daqui é só fazer contas: \(x'=f(x) \Leftrightarrow \gamma' x_0=f(\gamma x_0)=\gamma^r f(x_0)=\gamma^r \lambda x_0\Leftrightarrow \frac{\gamma'}{\gamma^r}= \lambda \Rightarrow \frac{1}{\gamma^{r-1}}=C-\lambda (r-1)t \Rightarrow \gamma(t)=\left(\frac{1}{C-\lambda (r-1)t}\right)^{\frac{1}{r-1}}\) que explode quando \(t\to \frac{C}{\lambda (r-1)}\). Nota: se tomarmos \(x(0)=x_0\) então \(C=1\).