Equação Diferencial de Segunda Ordem

[calbferreira@2]

\(\frac{d^2y}{dx^2}-4\frac{dy}{dx}+4y=5cosx\)

[PierreQuadrado]

a solução desta equação escreve-se como \(y = y_p+y_h\), em que \(y_h\) é a solução geral da equação homogénea \(y''_h- 4y'_h+4y_h =0\) e \(y_p\) é uma solução particular da equação dada. Como o polinómio característico da equação, \(D^2-4D+4\), tem \(D=2\) como raiz de multiplicidade 2, tem que \(y_h = c_1 e^{2x} + c_2 x e^{2x}\), já para solulão particular pode procurar uma função da forma \(a \cos x + b \sin x\) (semelhante ao segundo membro da equação), o que o vai conduzir a \(y_p = \frac 35 \cos x - \frac 45 \sin x\). A resposta final será então


\(y = c_1 e^{2x} + c_2 x e^{2x} + \frac 35 \cos x - \frac 45 \sin x\)