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\(\frac{d^2y}{dt^2}+n^2y=ksenpt\)

Dado que (\(n\neq 0\) e \(p^2\neq n^2\))

Condições de contorno: \(t=0\), \(y=\frac{dy}{dt}=0\)

Minha dúvida é como resolver o sistema abaixo para determinação das constantes da Integral Particular.
\(-2pB-p^2xA+n^2xB=k\)
\(2pA-p^2xB+n^2B=0\)

Resposta do problema:
\(y=\frac{k}{n^2-p^2}\left ( senpt-\frac{p}{n}sennt \right )\)

Não percebi o que tentou fazer na determinação da solução particular...

A solução geral da equação homogénea é \(y_h = c_1 \cos(nt) + c_2 \sin (nt)\). A solução particular deve ser escolhida "semelhante" ao segundo membro. Neste caso deve experimentar \(y_p = k_1 \cos (pt) + k_2 \sin (pt)\). Substituindo na eq. diferencial

\((k_1 \cos (pt) + k_2 \sin (pt))''+n^2(k_1 \cos (pt) + k_2 \sin (pt)) = k \sin(pt) \Leftrightarrow
-p^2 k_1 \cos(pt)-p^2k_2 \sin (pt) +n^2 k_1 \cos(pt) + n^2k_2 \sin(pt) = k \sin (pt)\Leftrightarrow
(n^2-p^2) k_1 = 0 \wedge (n^2-p^2)k_2 = k \Leftrightarrow
k_1 = 0 \wedge k_2 =\dfrac{k}{n^2-p^2}\)

Deste modo tem que \(y_p= \dfrac{k}{n^2-p^2} \sin (pt)\)

e a solução geral da equação é

\(y = y_h+y_p = c_1 \cos(nt) + c_2 \sin (nt) + \dfrac{k}{n^2-p^2} \sin (pt)\)

as condições iniciais permitem agora calcular \(c_1,c_2\):


\(y(0) = 0 \Leftrightarrow c_1 = 0\)

e

\(y'(0) = 0 \Leftrightarrow n c_2 + \dfrac{pk}{n^2-p^2}=0 \Leftrightarrow c_2 = -\dfrac{pk}{n(n^2-p^2)}\)

Finalmente,

\(y = -\dfrac{pk}{n(n^2-p^2)} \sin(nt)+ \dfrac{k}{n^2-p^2} \sin (pt)= \dfrac{k}{n^2-p^2}(\sin(pt) - \frac pn \sin(nt))\)