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| Solução Complexa de Equação Diferencial de Segunda Ordem https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=17&t=13847 |
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| Autor: | calbferreira@2 [ 05 jun 2018, 13:50 ] |
| Título da Pergunta: | Solução Complexa de Equação Diferencial de Segunda Ordem |
\(\frac{d^2y}{dt^2}+n^2y=ksenpt\) Dado que (\(n\neq 0\) e \(p^2\neq n^2\)) Condições de contorno: \(t=0\), \(y=\frac{dy}{dt}=0\) Minha dúvida é como resolver o sistema abaixo para determinação das constantes da Integral Particular. \(-2pB-p^2xA+n^2xB=k\) \(2pA-p^2xB+n^2B=0\) Resposta do problema: \(y=\frac{k}{n^2-p^2}\left ( senpt-\frac{p}{n}sennt \right )\) |
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| Autor: | PierreQuadrado [ 06 jun 2018, 08:22 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Solução Complexa de Equação Diferencial de Segunda Ordem [resolvida] |
Não percebi o que tentou fazer na determinação da solução particular... A solução geral da equação homogénea é \(y_h = c_1 \cos(nt) + c_2 \sin (nt)\). A solução particular deve ser escolhida "semelhante" ao segundo membro. Neste caso deve experimentar \(y_p = k_1 \cos (pt) + k_2 \sin (pt)\). Substituindo na eq. diferencial \((k_1 \cos (pt) + k_2 \sin (pt))''+n^2(k_1 \cos (pt) + k_2 \sin (pt)) = k \sin(pt) \Leftrightarrow -p^2 k_1 \cos(pt)-p^2k_2 \sin (pt) +n^2 k_1 \cos(pt) + n^2k_2 \sin(pt) = k \sin (pt)\Leftrightarrow (n^2-p^2) k_1 = 0 \wedge (n^2-p^2)k_2 = k \Leftrightarrow k_1 = 0 \wedge k_2 =\dfrac{k}{n^2-p^2}\) Deste modo tem que \(y_p= \dfrac{k}{n^2-p^2} \sin (pt)\) e a solução geral da equação é \(y = y_h+y_p = c_1 \cos(nt) + c_2 \sin (nt) + \dfrac{k}{n^2-p^2} \sin (pt)\) as condições iniciais permitem agora calcular \(c_1,c_2\): \(y(0) = 0 \Leftrightarrow c_1 = 0\) e \(y'(0) = 0 \Leftrightarrow n c_2 + \dfrac{pk}{n^2-p^2}=0 \Leftrightarrow c_2 = -\dfrac{pk}{n(n^2-p^2)}\) Finalmente, \(y = -\dfrac{pk}{n(n^2-p^2)} \sin(nt)+ \dfrac{k}{n^2-p^2} \sin (pt)= \dfrac{k}{n^2-p^2}(\sin(pt) - \frac pn \sin(nt))\) |
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