Derivada sucessiva de ordem 97
07 jun 2018, 02:25
Re: Derivada sucessiva de ordem 97
07 jun 2018, 11:35
Repare que é fácil "adivinhar" a expressão da derivada de ordem n... Se n for par, a derivada do termo \(\sin (3x)\), calculado no ponto 0 é nula, e a da exponencial corresponde a multiplicar um certo número de vezes pela derivada do expoente. Assim,
\(f^{(2k)}(0) = 3^{2k}e^{3 \cdot 0} = 3^{2k}\)
Se n for impar, digamos \(n = 2k - 1\) então
\(f^{(2k-1)}(0)=\begin{cases} 3^{2k-1} + 3^{2k-1}& ,k \textrm{ par} \\ 3^{2k-1} - 3^{2k-1} & ,k \textrm{ impar} \end{cases} =\begin{cases} 2 \cdot 3^{2k-1} & ,k \textrm{ par} \\ 0 & ,k \textrm{ impar} \end{cases}\)
Ora, como 97 = 2 x 48 -1, teremos \(f^{(97)}(0) = 2 \cdot 3^{97}\) (opção A)
\(f^{(2k)}(0) = 3^{2k}e^{3 \cdot 0} = 3^{2k}\)
Se n for impar, digamos \(n = 2k - 1\) então
\(f^{(2k-1)}(0)=\begin{cases} 3^{2k-1} + 3^{2k-1}& ,k \textrm{ par} \\ 3^{2k-1} - 3^{2k-1} & ,k \textrm{ impar} \end{cases} =\begin{cases} 2 \cdot 3^{2k-1} & ,k \textrm{ par} \\ 0 & ,k \textrm{ impar} \end{cases}\)
Ora, como 97 = 2 x 48 -1, teremos \(f^{(97)}(0) = 2 \cdot 3^{97}\) (opção A)