Equação Diferencial Ordinária pelo Método de Leibniz

[calbferreira@2]

\(\frac{\partial^4 }{\partial x^4}e^{-t}sent=\)

[PierreQuadrado]

Pode por favor colocar o enunciado exato? A expressão que refere não configura uma equação diferencial.

[calbferreira@2]

Segue enunciado:

Use o teorema de Leibniz para encontrar a expressão para \(y^{(4)}\) se \(y=e^{-t}sent\)


O teorema de Leibniz diz o seguinte:
\(y^{(n)}=(uv)^{n}=u^{n}v+nu^{(n-1)}v^{1}+\frac{n(n-1)}{2!}u^{(n-2)}v^{2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}u^{(n-3)}v^{3}+...\)

[PierreQuadrado]

Ok, trata-se então de calcular uma derivada, não de resolver uma equação diferencial. A fórmula de Leibnitz para a derivada de ordem 4 de um produto é, como diz

\((uv)^{(4)} = u^{(4)} v + \binom{4}{1} u^{(3)} v^{(1)} \binom{4}{2}u^{(2)} v^{(2)} + \binom{4}{3} u^{(1)} v^{(3)} + u v^{(4)}= u^{(4)} v + 4 u^{(3)} v^{(1)} 6 u^{(2)}v^{(2)} + 4 u^{(1)} v^{(3)} + u v^{(4)}\)

Neste caso concreto, tem que


\(u = e^{-t},\quad u' = -e^{-t},\quad u'' = e^{-t},\quad u''' = -e^{-t},\quad u''''=e^{-t}\)

\(v = \sin t,\quad v' = \cos t,\quad v'' = -\sin t,\quad v'''=-\cos t,\quad v''''=\sin t\)

só tem agora que substituir…