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seja \(g(x) = (x + 1) \cdot h(x^2)\) e, sabendo que, \(g'(x) = g(x)\) e \(h(0) = 2\), qual será o valor de \(h(1)\) ?

Tendo em conta g(x)=(x+1) h(x^2), podemos concluir que, no caso particular de ser x=0, devemos ter g(0)=(0+1) h(0) = 2. Porém, sabendo que g'(x) = g(x) e que g(0)=2, sabemos que g(x)=2 e^x (sol. eq. diferencial linear de 1ª ordem). Finalmente, como g(1) = (1+1) h(1^2) e g(1)= 2e, vemos que h(1) = 2e/2 =e.

Obrigado amigo. Pode me ajudar com a solução da EDO: g`(x) = g(x) ?

Procurar funções que verifiquem g'(x)=g(x) é procurar funções que coincidem com a própria derivada. Ora, é precisamente isto que acontece com a exponencial... (e^x)' = e^x. Se multiplicarmos esta função por uma constante, o resultado mantém-se, daí que qualquer função da forma C e^x seja solução da equação diferencial. Para vermos que não podem existir outras soluções, teríamos que utilizar um teorema de existência e unicidade de solução (p.ex. o teorema de Picard).

Do ponto de vista mais geral, esta equação pode ser considerada uma equação linear de 1ª ordem (existe uma fórmula geral para a solução), ou ou equação de variáveis separáveis (também existe uma fórmula para determinar a solução geral, eventualmente de modo implicito).