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| Obter a segunda solução da E.D de Laguerre usando Wronskiano https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=17&t=2208 |
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| Autor: | Regina [ 07 abr 2013, 21:12 ] |
| Título da Pergunta: | Obter a segunda solução da E.D de Laguerre usando Wronskiano |
Olá pessoal, preciso saber como determinar a segunda solução da equação de Laguerre, xy''+(1-x)y'+ny=0, para n=0, sabendo que \(y_1(x)=1\) é uma solução, e usando a fórmula do wronskiano: \(y_2(x)=y_1(x)\int\frac{e^{-\int p(x)dx}}{[y_1(x)]^2}dx\) Ficarei muito grato com a ajuda. |
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| Autor: | Man Utd [ 19 jul 2014, 19:28 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Obter a segunda solução da E.D de Laguerre usando Wronskiano |
Olá:D A redução de ordem funciona para uma equação do tipo : \(y''+p(x)y'+q(x)y=0\) logo : \(p(x)=\frac{1-x}{x}\), utilizando a fórmula : \(y_{2}(x)=\int \; e^{\left( -\int \frac{1-x}{x} \; dx \right)} \; dx\) \(y_{2}(x)=\int \; e^{\left( x-\ln x \right)} \; dx\) \(y_{2}(x)=\int \; \frac{e^{x}}{x} \; dx\) ora \(\frac{e^{x}}{x}\) não tem primitiva em termos de funções elementares,logo vamos usar uma expansão em série : \(y_{2}(x)=\int \; \frac{ \sum_{n=0}^{+\infty} \; \frac{x^n}{n!} }{x} \; dx\) \(y_{2}(x)=\int \; \sum_{n=0}^{+\infty} \; \frac{x^{n-1}}{n!} \; dx\) \(y_{2}(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} \; \frac{x^{n-1+1}}{n!(n-1+1)}\) \(y_{2}(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} \; \frac{x^{n}}{n! n}\) logo a solução geral é tal que duas funções linearmentes independentes : \(y(x)=a_{0}+a_{1}\sum_{n=0}^{+\infty} \; \frac{x^{n}}{n! n}\) |
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