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| Solução geral de 2xy +6x+ (x^2-4)y'=0 https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=17&t=298 |
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| Autor: | emsbp [ 08 abr 2012, 22:29 ] |
| Título da Pergunta: | Solução geral de 2xy +6x+ (x^2-4)y'=0 |
Boa noite. É pretendido determinar a solução geral de \(2xy+6x+(x^{2}-4)\frac{dy}{dx}\)=0. A solução dada é: \(y=\frac{c}{x^{2}-4}-3\). No entanto não estou conseguindo chegar a esta solução. Resolvi da seguinte forma: \(x(2y+6)=-(x^{2}-4)\frac{dy}{dx} \equiv \frac{x}{x^{2}-4} =-\frac{1}{2y+6}\frac{dy}{dx}\equiv \frac{x}{x^{2}-4} dx=-\frac{1}{2y+6}dy\). \(\int \frac{x}{x^{2}-4}dx=-\int \frac{1}{2y+6}dy\) \(\frac{1}{2}ln(x^{2}-4)=-\frac{1}{2}ln(2y+6)+c\equiv ln(x^{2}-4)^{\frac{1}{2}}=ln(2y+6)^{\frac{-1}{2}}+c\equiv (x^{2}-4)=(2y+6)^{\frac{-1}{2}}\). Estará a faltar algum pormenor, ou errei algures pelo meio do raciocínio? Obrigado! |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 09 abr 2012, 17:14 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Solução geral de 2xy +6x+ (x^2-4)y'=0 |
Meu caro, parece-me (aparentemente) estar a fazer tudo corretamente repare apenas que se tem \(\frac{1}{2}ln(x^{2}-4)=-\frac{1}{2}ln(2y+6)+c\) Pode multiplicar a equação por 2 e fica com \(ln(x^{2}-4)+ln(2y+6)=2c\) o que facilita pois não necessita de raízes, assim, continuando: \((x^2-4)(2y+6)=e^{2c}\) \(2y+6=\frac{e^{2c}}{x^2-4}\) \(y=\frac{e^{2c}}{2(x^2-4)}-3\) fazendo \(\frac{e^{2c}}{2}=K\) ficamos com: \(y=\frac{K}{x^2-4}-3\) Cumprimentos |
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