partilhe os desenvolvimentos que fez, que lhe dizemos se está certo
use preferencialmente aqui o LaTex/Editor de equações (botão mm aí por cima)
Abraços
| Fórum de Matemática | DÚVIDAS? Nós respondemos! https://forumdematematica.org/ |
|
| Resolvendo a equação diferencial homogénea https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=17&t=3324 |
Página 1 de 1 |
| Autor: | ivoski [ 14 ago 2013, 19:37 ] |
| Título da Pergunta: | Resolvendo a equação diferencial homogénea |
help me equação: x²y´ = x² + y² |
|
| Autor: | João P. Ferreira [ 14 ago 2013, 20:17 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Resolvendo a equação |
\(x^2 y' = x^2 + y^2\) \(y'=\frac{x^2+y^2}{x^2}\) \(\frac{dy}{dx}=\frac{x^2+y^2}{x^2}\) a forma canónica será \(x^2 dy-(x^2+y^2) dx=0\) repare que as função são homogéneas com o mesmo grau logo a equação é uma equação homogénea faça uma substituição \(y=ux\) e \(dy=udx+xdu\) |
|
| Autor: | ivoski [ 18 ago 2013, 11:19 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Resolvendo a equação |
[size=85][/size] João P. Ferreira Escreveu: \(x^2 y' = x^2 + y^2\) \(y'=\frac{x^2+y^2}{x^2}\) \(\frac{dy}{dx}=\frac{x^2+y^2}{x^2}\) a forma canónica será \(x^2 dy-(x^2+y^2) dx=0\) repare que as função são homogéneas com o mesmo grau logo a equação é uma equação homogénea faça uma substituição \(y=ux\) e \(dy=udx+xdu\) eu cheguei a ==> y² -xy -x² -xc esta certa a resposta professor? |
|
| Autor: | João P. Ferreira [ 18 ago 2013, 14:28 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Resolvendo a equação diferencial homogénea |
partilhe os desenvolvimentos que fez, que lhe dizemos se está certo use preferencialmente aqui o LaTex/Editor de equações (botão mm aí por cima) Abraços |
|
| Autor: | hierra [ 19 ago 2013, 15:17 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Resolvendo a equação diferencial homogénea |
a resposta seria por esse caminho? \(cx=e^{\frac{{2arctan\left ( \frac{2y-x}{\sqrt{3-x}} \right )}}{\sqrt{3}}}\) |
|
| Autor: | João P. Ferreira [ 19 ago 2013, 19:46 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Resolvendo a equação diferencial homogénea |
Não fiz os desenvolvimentos, por isso pedi-lhe para que os faça aqui, para confirmar Tínhamos então \(x^2 dy-(x^2+y^2) dx=0\) repare que as função são homogéneas com o mesmo grau logo a equação é uma equação homogénea fazendo uma substituição \(y=ux\) e \(dy=udx+xdu\) \(x^2 (udx+xdu)-(x^2+(ux)^2) dx=0 \Leftrightarrow \\ x^2 u dx+x^3du-(x^2(1+u^2)) dx=0 \Leftrightarrow \\ x^2(u-1-u^2)dx+x^3du=0 \Leftrightarrow \\ (u-1-u^2)dx+x du=0 \Leftrightarrow \\ \frac{1}{x}dx-\frac{1}{u^2-u+1} du=0 \Leftrightarrow \\ \int\frac{1}{x}dx-\int\frac{1}{u^2-u+1} du=0\) avance... A solução está aqui [url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+x^2y%27+%3D+x^2+%2B+y^2[/url] |
|
| Autor: | ivoski [ 19 ago 2013, 22:24 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Resolvendo a equação diferencial homogénea |
hierra Escreveu: a resposta seria por esse caminho? \(cx=e^{\frac{{2arctan\left ( \frac{2y-x}{\sqrt{3-x}} \right )}}{\sqrt{3}}}\) Boa tarde Hierra voce conseguiu chegar a solução??? eu ainda nao!  Boa Professor Joao Ferreira obrigado pela ajuda, mas nao estou conseguindo chegar ao resultado da WolframAlpha pode me dar mais um help? abraços |
|
| Autor: | hierra [ 20 ago 2013, 11:12 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Resolvendo a equação diferencial homogénea |
Cheguei utilizando o WolframAlpha e o Maxima, além da ajuda do João. No WolframAlpha tem um step-by-step que lhe mostra como resolver passo a passo. És cederjano, como te encontro? |
|
| Autor: | ivoski [ 20 ago 2013, 13:49 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Resolvendo a equação diferencial homogénea |
hierra Escreveu: Cheguei utilizando o WolframAlpha e o Maxima, além da ajuda do João. No WolframAlpha tem um step-by-step que lhe mostra como resolver passo a passo. És cederjano, como te encontro?
|
|
| Autor: | João P. Ferreira [ 20 ago 2013, 14:36 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Resolvendo a equação diferencial homogénea |
Continuando \(\int\frac{1}{x}dx-\int\frac{1}{u^2-u+1} du=0 \ \Leftrightarrow \\ \int\frac{1}{x}dx-\int\frac{1}{u^2-u+1/4+3/4} du=0 \ \Leftrightarrow \\ \int\frac{1}{x}dx-\int\frac{1}{3/4+(u-1/2)^2} du=0 \ \Leftrightarrow \\ \int\frac{1}{x}dx-\int\frac{4/3}{1+\left(\frac{2u-1}{\sqrt{3}}\right)^2} du=0 \ \Leftrightarrow \\ \int\frac{1}{x}dx-\frac{4}{3}\frac{\sqrt{3}}{2}\int\frac{2/\sqrt{3}}{1+\left(\frac{2u-1}{\sqrt{3}}\right)^2} du=0 \ \Leftrightarrow \\ \int\frac{1}{x}dx-\frac{2}{\sqrt{3}}\int\frac{2/\sqrt{3}}{1+\left(\frac{2u-1}{\sqrt{3}}\right)^2} du=0 \ \Leftrightarrow \\ \log(x)-\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan{\frac{2u-1}{\sqrt{3}}}=c \ \Leftrightarrow \\ \arctan{\frac{2u-1}{\sqrt{3}}}=c+\frac{\sqrt{3}\log(x)}{2} \ \Leftrightarrow \\ \frac{2u-1}{\sqrt{3}}=\tan\left(c+\frac{\sqrt{3}\log(x)}{2} \right ) \ \Leftrightarrow \\ u=\frac{\sqrt{3}}{2}\tan\left(c+\frac{\sqrt{3}\log(x)}{2} \right )+1/2\) como \(y=ux\) então \(u=y/x\) logo \(y/x=\frac{\sqrt{3}}{2}\tan\left(c+\frac{\sqrt{3}\log(x)}{2} \right )+1/2 \ \Leftrightarrow \\ y=\frac{\sqrt{3}x}{2}\tan\left(c+\frac{\sqrt{3}\log(x)}{2} \right )+x/2\) confirmei no Wolfram, está certo Coloque esta expressão no Wolfram Alpha solve x^2y' = x^2 + y^2 |
|
| Página 1 de 1 | Os Horários são TMG [ DST ] |
| Powered by phpBB® Forum Software © phpBB Group https://www.phpbb.com/ |
|