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| Por que eu não posso integrar dessa forma. https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=17&t=3498 |
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| Autor: | kryzay [ 04 set 2013, 13:14 ] |
| Título da Pergunta: | Por que eu não posso integrar dessa forma. |
Estou começando a estudar equações diferenciais e estou com uma dúvida que acredito ser de cálculo. no exercício tenho que resolver essa equação: dy/dt = -2y + 5 O modo que o autor resolveu a equação eu entendi. Mas gostaria de saber porque eu nao posso fazer isso: dy = (-2y +5) dt E então integrar as duas partes: y = -2ty + 5t + C |
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| Autor: | josesousa [ 04 set 2013, 17:13 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Por que eu não posso integrar dessa forma. |
Porque sendo y uma função de t (y(t)), o integral em t de (-2y +5) não tem de ser -2ty + 5t + C, já que y não tem de ser constante. Imagina, por exemplo, que y=t^2. Experimenta substituir e verifica se o integral de (-2y +5) é como escreves |
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| Autor: | kryzay [ 04 set 2013, 20:29 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Por que eu não posso integrar dessa forma. |
José, você quer dizer que eu não posso considerar y como uma constante, pois y é uma variável dependente? Na resolução do livro: \(\frac{dy}{dt} = -2y + 5\) \(\frac{\frac{dy}{dt}}{y-5/2} = -2\) Pela regra da cadeia: \(\frac{d(ln|y-\frac{5}{2}|)}{dt} = \frac{d(ln|y-\frac{5}{2}|)}{dy} \cdot \frac{dy}{dt}\) \(\frac{d(ln|y-\frac{5}{2}|)}{dt} = \frac{1}{y-\frac{5}{2}} \cdot \frac{dy}{dt}\) Logo: \(\frac{d(ln|y-\frac{5}{2}|)}{dt} = -2\) \(d(ln|y-\frac{5}{2}|) = -2dt\) Mas agora eu posso integrar porque estou integrando y em uma função f(y)? Dessa forma não importa se y é uma função de t? Integrando: \(ln|y-\frac{5}{2}| = -2t + C\) E só uma última dúvida: Por que eu tenho constante apenas no lado direito? É como se com essa constante acontecesse isso depois de integrar: \(ln|y-\frac{5}{2}|+C^{1} = -2t + C^{2}\) \(ln|y-\frac{5}{2}| = -2t + C^{2}-C^{1}\) Daí então \(C = C^{2}-C^{1}\) ? |
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| Autor: | josesousa [ 05 set 2013, 12:10 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Por que eu não posso integrar dessa forma. |
A resolução é simples. Esta equação é separável, isto é, podemos ter os termos em t num dos membros, e os termos em y no outro. \(dy/dt = -2y + 5\) \(dy/dt = -2(y - 5/2)\) \(\frac{1}{y - 5/2}dy = -2 dt\) Assim, já temos os termos separados. Agora podemos integrar ambos os termos \(\int \frac{1}{y - 5/2}dy = \int -2 dt\) \(ln(|y-5/2|) = -2t+C\) Sim, em relação às constantes, a soma ou subtração de 2 constantes é 1 constante. Assim, \(|y-5/2| = e^{-2t+C}=e^{-2t}e^{C}=\) \(=e^{-2t}C_1=\) |
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