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| Dúvida Eq. Homogénea y²-2xy+x²y'=0 com substituição y=ux https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=17&t=4093 |
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| Autor: | Catherine [ 24 Oct 2013, 01:16 ] |
| Título da Pergunta: | Dúvida Eq. Homogénea y²-2xy+x²y'=0 com substituição y=ux |
Devo estar errando uma coisa idiota, mas não chego na solução. Ajuda por favor \(y^2-2xy+x^2y'=0 y=ux dy/dx=(2xy-y^2)/x^2 u+xdu/dx=(2x^2u-u^2x^2)/x^2 Simplificando xdu/dx=u-u^2 \int du/(u-u^2)=\int dx/x -ln((u-1)/u)=lnx + C C1x=(u-1)/u Voltando y=-x/(C1x-1) Resposta HP: y=x^2/(x+C) Resposta livro: y=Cx^2/(Cx+1)\) PS: gostaria de ajuda na resolução da integral \(\int du/(u-u^2)\) Obrigada 
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| Autor: | João P. Ferreira [ 24 Oct 2013, 11:10 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Dúvida Eq. Homogenea y^2-2xy+x^2y'=0 |
A resposta HP (o que é HP?) é igual ao livro repare que \(\frac{Cx^2}{Cx+1}=\frac{x^2}{x+1/C}\) fazendo \(C=1/K\) (é tudo constante) \(\frac{x^2}{x+1/C}=\frac{x^2}{x+K}\) \(K\) ou \(C\) são apenas constantes em relaçâo ao integral quem tem dúvidas \(\int \frac{du}{u-u^2}=\int \frac{du}{(1-u)u}\) \(\frac{1}{(1-u)u}=\frac{A}{1-u}+\frac{B}{u}\) \(A=1\) e \(B=1\) \(\int \frac{du}{(1-u)u}=\int \frac{du}{1-u}+\int \frac{du}{u}=-ln\left | 1-u \right | + \ln\left | u \right |=ln\left | \frac{u}{1-u} \right | + C\) |
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| Autor: | Catherine [ 24 Oct 2013, 17:23 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Dúvida Eq. Homogénea y²-2xy+x^2y'=0 com substituição y=ux |
Ok. Obrigada. Mas o que tem de errado com a minha resolução? Pois, como postei na minha dúvida, achei y=-x/(Cx-1) HP é uma calculadora gráfica da marca HP.. Rsrs |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 24 Oct 2013, 18:00 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Dúvida Eq. Homogénea y²-2xy+x^2y'=0 com substituição y=ux [resolvida] |
não analisei ainda totalmente o resto mas esta passagem está errada Catherine Escreveu: \(-ln((u-1)/u)=lnx + C\) \(C1x=(u-1)/u\) \(-ln((u-1)/u)=lnx + C\) \(ln(((u-1)/u)^{-1})=lnx + C\) \(((u-1)/u)^{-1}=x.C\) \(\frac{u}{u-1}=x.C\) lembre-se que \(a.ln(b)=ln(b^a)\) |
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| Autor: | Catherine [ 24 Oct 2013, 20:28 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Dúvida Eq. Homogénea y²-2xy+x^2y'=0 com substituição y=ux |
Olha, muito obrigada. Era exatamente aí que estava errando. Consegui chegar ao resultado. 
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| Autor: | João P. Ferreira [ 24 Oct 2013, 20:53 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Dúvida Eq. Homogénea y²-2xy+x^2y'=0 com substituição y=ux |
sempre às ordens, estamos aqui para ajudar e sempre que quiseres passar por aqui para ajudar o resto da malta és bem-vinda
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