Equação diferencial não linear com transformada de Laplace

[João P. Ferreira]

Boas, caros doutos matemáticos

Será possível resolver esta equação diferencial não linear com transformada de Laplace?

\(\{ ty''(t)-y'(t)=t^{2} \\ y(0)=0 \\ y'(1)=2\)

Espero sugestões meus caros... Ando à volta com isto à dias e entrei num impasse

Como resolvo isto? É possível resolver com Laplace ou é necessário usar outra técnica?

Muito obrigado

[josesousa]

Necessita mesmo usar a transformada de Laplace?
Tendo um polinómio no lado direito da igualdade, e no lado esquerdo uma equação de segundo grau (multiplicada por um termo polinomial), desconfiamos de uma solução polinomial.

Assim sendo, se precisamos de t^2 no lado esquerdo, no mínimo esse polinómio será de ordem 3 (Assim t.y'' será de ordem 2).

Então a solução geral será da forma a0.t^3+a1.t^2+a2.t+a3

Substituindo na equação, ficamos com

3.a0.t^2-a2=t^2, donde se conclui que a0=1/3, a2 = 0

Neste momento teremos então

y = 1/3t^3+a1.t^2+a3

Com as condições y(0)=0 e y´(1)=2, concluimos que

a1=1/2, a3 = 0

Ou seja, a solução final é

y(t) = 1/3.t^3+1/2.t^2

[João P. Ferreira]

Extremamente astuta e límpida a sua resposta meu caro...

Uma excelente linha de raciocínio lógico, concluída num climax matemático autêntico e solucionador

Muitos parabéns e muito obrigado meu caro

[josesousa]

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