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| Equação homogênea e equação particular https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=17&t=4420 |
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| Autor: | Calculado [ 25 nov 2013, 02:15 ] |
| Título da Pergunta: | Equação homogênea e equação particular |
A pergunta é: encontre a solução geral da equação \(\frac{d^2 y}{d x^2} - 4 \frac{dy}{dx} + 4y = x + sen 3x\) Como faço esta questão?? não estou conseguindo.. |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 25 nov 2013, 09:44 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Equação homogênea ajuda |
É uma equção linear do segundo grau não homogénea. A solução geral é a soma da equação particular com a equação homogénea Para achar a solução homogénea tem de achar a solução de \(\frac{d^2 y}{d x^2} - 4 \frac{dy}{dx} + 4y = 0\) que equivale a solucionar o polinómio \(Y^2-4Y+{4}={0}\) para achar a solução particular pode usar por exemplo o método dos coeficientes indeterminados |
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| Autor: | Calculado [ 26 nov 2013, 03:14 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Equação homogênea ajuda |
Bom, descobri que tinha faltado esta aula, e peguei a matéria hoje. Tentei fazer ela e gostaria que corrigisse ela, só pra saber se está certo, se possível corrigir a outra que vou postar que também resolvi. \(Y'' - 4Y' +4Y=x+ sen 3x\) \(Y= Yhom + Ypar\) \(Yh= r^2 - 4r +4\) \(r1=r2=2\) Logo, \(Yh= C1.e^2^x + C2.x.e^2^x\) . Agora a solução particular. \(Q(x)=x+sen 3x+cos 3x\) \(Yp=Ax+B sen3x+ C cos3x\) \(Y'p=A+3B sen3x - 3C cos3x\) \(Y''p=-9B sen3x- 9C cos3x\) Então \(Y'' - 4Y' +4Y=x+ sen 3x + cos 3x\) Substituindo, \(-9B sen3x- 9C cos3x - 4(A+3B sen3x - 3C cos3x) +4(Ax+B sen3x+ C cos3x)=x+ sen 3x + cos 3x\) Simplificando \(sen(7B)+cos(-17C)+x(4A)-4A=Ax+Bsen 3x+0cos3x\) Por relação \(7B=1\) então \(B=\frac{1}{7}\) \(-17C=0\) então \(c=0\) \(4A=1\) então \(A=\frac{1}{4}\) Então \(Yp=\frac{1}{4}x+\frac{1}{7} sen3x -1\) Então a resposta é \(Y = \frac{1}{4}x+\frac{1}{7} sen3x -1 + C1.e^2^x + C2.x.e^2^x\) E ai?? tudo está certo? |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 26 nov 2013, 11:44 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Equação homogênea ajuda |
Caro amigo, não confirmei cada passo, mas o Wolfram é uma excelente ferramenta para confirmar esses cálculos, ora veja, tem aí a sua solução http://www.wolframalpha.com/input/?i=so ... in%283x%29 |
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| Autor: | Calculado [ 26 nov 2013, 13:14 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Equação homogênea ajuda |
Minha resposta está errada. :/ Me dá uma ajuda no inicio então... =x.sen x eu uso mesmo Ax.Bsenx.Ccosx ?? Pode me dizer? esse que foi meu erro. |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 26 nov 2013, 14:58 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Equação homogênea ajuda |
dá trabalho verificar tudo, mas reparo por exemplo que falta um termo constante na sua solução particular \(y_p=C_1+C_2x+C_3 sen(3x)+C_4 cos (3x)\) http://nebm.ist.utl.pt/repositorio/download/1206 |
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| Autor: | Calculado [ 26 nov 2013, 15:34 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Equação homogênea ajuda |
Pelo http://www.wolframalpha.com/input/?i=so ... in%283x%29 ele mostra uma forma alternativa, que responde a questão exemplo y''(x)-4 y'(x)+4 y(x) = x-sin^3(x)+3 sin(x) cos^2(x) Existe algum método para descobrir estas variações de parâmetros? |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 26 nov 2013, 16:42 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Equação homogênea ajuda |
o wolfram dá passos muito avançados, não o use a não ser para ver o resultado final sim, está na ligação que lhe enviei http://nebm.ist.utl.pt/repositorio/download/1206 pode ver como se usa a variação das constantes |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 26 nov 2013, 16:46 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Equação homogênea ajuda |
Calculado Escreveu: Então \(Y'' - 4Y' +4Y=x+ sen 3x + cos 3x\) isto está mal... o que vc tem de fazer é substituir \(Y\), \(Y'\) e \(Y''\) pelos resultados que achar, mas do lado direito da equação fica o que lá sempre esteve \(Y'' - 4Y' +4Y=x+ sen 3x\) |
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| Autor: | Calculado [ 26 nov 2013, 17:26 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Equação homogênea e equação particular |
Este eu consegui fazer. Achei o resultado certo. Obrigado. O outro exercicio que minha solução particular está dando 0. E não acho o erro. |
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