Se calhar nao fui muito claro. Deixo em o exercício tal e qual como me foi apresentado.
| Anexos: |
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| Como provo esta fórmula através da fórmula de Leibniz https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=17&t=473 |
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| Autor: | Ricardo [ 14 jun 2012, 19:51 ] |
| Título da Pergunta: | Como provo esta fórmula através da fórmula de Leibniz |
Boa noite, necessito de ajuda neste exercício. Ja tentei de tudo mas sem sucesso. Sabendo que \(\frac{d}{dx}\int_{a}^{b}f(x,y)dy= \int_{a}^{b}\frac{df}{dx}dy\), prove a fórmula de Leibniz: \(\frac{d}{dx}\int_{a}^{b}f(x,y)dy= -f(x,a)\frac{da}{dx}+ f(x,b)\frac{db}{dx}+\int_{a}^{b}\frac{df}{dx}dy\) onde a(x) e b(x) são deriváveis. (Não sei se este é local correto do forum para este post, peço desculpa se não estiver no local correto) |
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| Autor: | josesousa [ 15 jun 2012, 10:05 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Duvida - Como provo esta formula? |
Na expressão de cima a e b são constantes, mas na de baixo não, não é? é que usas d/dx sem derivadas parciais e não deixas explícita a dependência de a e b de x. |
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| Autor: | Ricardo [ 15 jun 2012, 11:49 ] | ||
| Título da Pergunta: | Re: Duvida - Como provo esta formula? | ||
Se calhar nao fui muito claro. Deixo em o exercício tal e qual como me foi apresentado.
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| Autor: | josesousa [ 15 jun 2012, 14:50 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Duvida - Como provo esta formula? |
Acho que o enunciado não faz sentido, porque ambos os termos do lado esquerdo são iguais, podendo ser diferentes os do lado direito. Assim sendo, eu entendo que: \(\frac{\partial }{\partial x}\int_a^b f(x,y)dy = \int_a^b \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}dy\) e \(\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)} f(x,y)dy = -f(x,a)\frac{da}{dx} + f(x,b)\frac{db}{dx} +\int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}dy\) |
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| Autor: | josesousa [ 15 jun 2012, 15:14 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Duvida - Como provo esta formula? |
O resultado é quase trivial pela aplicação do teorema fundamental do cálculo em relação ao termo em y. Mas para ficar mais simples: Assim sendo, chamemos a F(x,y) à primitiva em termos de y de f(x,y) ( \(F(x,y)=\int f(x,y)dy\) ) Então \(\int_{a(x)}^{b(x)} f(x,y) dy = F(x,b(x))-F(x,a(x))\) \(\frac{d}{dx} \[F(x,b(x))-F(x,a(x))\] =\) \(\frac{\partial }{\partial x}\[F(x,b(x))-F(x,a(x))\] + \frac{\partial F(x,b(x))}{\partial b(x)} \frac{\partial b(x)}{\partial x}- \frac{\partial F(x,a(x))}{\partial a(x)} \frac{\partial a(x)}{\partial y}=\) \(\int_{a(x)}^{b(x)}\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} dy + f(x,b(x)) \frac{\partial b(x)}{\partial x}- f(x,a(x)) \frac{\partial a(x)}{\partial y}\) |
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| Autor: | Ricardo [ 15 jun 2012, 16:20 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Duvida - Como provo esta formula? |
Muito Obrigado pela Resposta!! 
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| Autor: | Ricardo [ 15 jun 2012, 18:05 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Duvida - Como provo esta formula? |
Peço desculpa estar novamente a incomodar, mas nao percebo o que vem a seguir a : \(\frac{d}{dx}[F(x,b(x))- F(x,a(x))]=...\) Se pudesse explicar como chega à equação a seguir a esta ficava profundamente agradecido! |
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| Autor: | josesousa [ 15 jun 2012, 18:09 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Duvida - Como provo esta formula? |
Repara que tens derivada TOTAL em ordem a x de uma função de x, a(x) e b(x) Isso é igual à soma das derivadas PARCIAIS dessa função em ordem a x, a(x) e b(x) Olha para o que está dentro de parênteses como uma função de 3 variáveis (ainda que a e b depois dependam de x) |
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