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| Equação Diferencial https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=17&t=5223 |
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| Autor: | albersonmiranda [ 22 fev 2014, 21:34 ] | ||
| Título da Pergunta: | Equação Diferencial | ||
Em um artigo há a seguinte função: \(\dot{K}=sK^a(L_{0}e^{nt})^{1-a}\) Nele foi apresentada a solução abaixo: \(K(t)=[K{_{0}}^{1-a}-\frac{s}{n}L{_{0}}^{1-a}+\frac{s}{n}L{_{0}}^{1-a}e^{nt(1-a)}]^\frac{1}{1-a}\) Acredito que a passagem foi uma integral dupla em (t) e (a) mas não obtive o mesmo resultado. Alguma ideia?
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| Autor: | Rui Carpentier [ 23 fev 2014, 19:06 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral dupla |
Citar: Acredito que a passagem foi uma integral dupla em (t) e (a) mas não obtive o mesmo resultado. Alguma ideia? Não me parece que tenha sido uma integral dupla. Se exprimentar integrar a expressão \(\dot{K}K^{-a}=s(L_0e^{nt})^{1-a}\) apenas na variável t vai ver que obtem o resultado esperado. |
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| Autor: | albersonmiranda [ 23 fev 2014, 20:51 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral dupla |
Rui Carpentier Escreveu: Citar: Acredito que a passagem foi uma integral dupla em (t) e (a) mas não obtive o mesmo resultado. Alguma ideia? Não me parece que tenha sido uma integral dupla. Se exprimentar integrar a expressão \(\dot{K}K^{-a}=s(L_0e^{nt})^{1-a}\) apenas na variável t vai ver que obtem o resultado esperado. Essa é uma boa notícia! Entretanto, ainda não consigo ver. Poderia desenvolver? Só consegui chegar no abaixo: \(\dot{K}K^{-a}=\int s(L_{0}e^{nt})^{1-a}dt\) \(=sL_{0}^{1-a}\int e^{nt}^{(1-a)}dt\) \(=sL_{0}^{1-a}\int e^u\frac{du}{n(1-a)}\) \(=sL_{0}^{1-a}\frac{1}{n(1-a)}e^{nt(1-a)}+K_{0}\) |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 23 fev 2014, 21:38 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral dupla |
Não se esqueça de integrar também a primeira parcela da igualdade: \(\int \dot{K}(t)K^{-a}(t)dt =\frac{K^{1-a}}{1-a}\). Além disso a constante na segunda parcela não é \(K_0\). |
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| Autor: | albersonmiranda [ 23 fev 2014, 23:44 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral dupla |
Rui Carpentier Escreveu: Não se esqueça de integrar também a primeira parcela da igualdade: \(\int \dot{K}(t)K^{-a}(t)dt =\frac{K^{1-a}}{1-a}\). Além disso a constante na segunda parcela não é \(K_0\). Não compreendi essa passagem. Integrando a primeira parcela cheguei no mesmo resultado da segunda parcela  (obs.: como se move o tópico? não conhecia o fórum quando postei e este tópico não pertence em equações difenciais) |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 24 fev 2014, 14:00 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral dupla |
Se \(f=g\) então \(\int_0^t f(\xi)d\xi=\int_0^t g(\xi)d\xi\). Logo se \(\dot{K}K^{-a}=s(L_0e^{nt})^{1-a}\) então ... |
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| Autor: | albersonmiranda [ 24 fev 2014, 17:23 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral dupla |
Desculpe, ainda estou pensando errado! \(\int \dot{K}K^{-a}=\int sL_{0}^{1-a}e^{nt(1-a)}\) \(K^{-a}\int \dot{K}=sL_{0}^{1-a}\int e^{nt(1-a)}\) \(K^{-a}K=sL_{0}^{1-a}e^{nt(1-a)}\frac{1}{n(1-a)}\) \(K^{1-a}=sL_{0}^{1-a}e^{nt(1-a)}\frac{1}{n(1-a)}\) \(K=\left (sL_{0}^{1-a}e^{nt(1-a)}\frac{1}{n(1-a)} \right )^{\frac{1}{1-a}}\) Isso já está me deixando louco |
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| Autor: | Sobolev [ 24 fev 2014, 18:06 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral dupla [resolvida] |
Lembre-se como calcular a primitiva de uma potência... foi o primeiro erro no seu último post... \(\int f'(x) [f(x)]^c \,dx = \frac{[f(x)]^{c+1}}{c+1} + Cet\) \(\int_0^t K'(\xi)(K(\xi))^{-a} d \xi = \int_0^t s L_0^{1-a} e^{n \xi (1-a)} \, d \xi \Leftrightarrow \frac{(K(t))^{-a+1}}{-a+1} - \frac{(K(0))^{-a+1}}{-a+1} = sL_0^{1-a} \left(\frac{e^{nt(1-a)}}{n(1-a)}-\frac{1}{n(1-a)}\right) \Leftrightarrow K(t)=\left( (K(0))^{1-a} + sL_0^{1-a} \cdot \frac{e^{nt(1-a)}}{n} - \frac{s}{n}L_0^{1-a}\right)^{1/(1-a)} \Leftrightarrow K(t) = \left( K_0^b + \frac{s}{n}L_0^{1-a} e^{nbt} - \frac{s}{n} L_0^b\right)\) |
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| Autor: | albersonmiranda [ 24 fev 2014, 18:16 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral dupla |
Eis o problema, eu tinha obliterado essa propriedade da primitiva de potência da minha cabeça! Obrigado! |
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