Fórum de Matemática
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Determine uma região do plano xy para a qual a equação diferencial teria uma única solução passando por um ponto \((x_0, y_0)\) na região para \(\frac{dy}{dx}= (xy)^{1/2}\).
Desde já agradeço!

\(\frac{dy}{dx}=\sqrt{x}*\sqrt{y}\)


\(\frac{dy}{\sqrt{y}}=\sqrt{x}\; dx\)


\(\int \; \frac{dy}{\sqrt{y}}=\int \; \sqrt{x}\; dx\)


\(\ln|y|=\frac{3*\sqrt{x^3}}{2}+C\)



Supondo \(y \geq 0\) :


\(y=e^{\left(\frac{3*\sqrt{x^3}}{2}\right) } \times C\)



como \(y(x_{0})=y_{0}\) então :


\(y_{0}=e^{\left(\frac{3*\sqrt{{x_{0}}^3}}{2}\right) }\; \times \; C\)



\(C=e^{-\left(\frac{3*\sqrt{{x_{0}}^3}}{2}\right) }\; \times \; y_{0}\)



então o P.V.I fica:


\(\fbox{\fbox{\fbox{y(x)=e^{\left(\frac{3*\sqrt{x^3}}{2}\right) }\; \times \; e^{-\left(\frac{3*\sqrt{{x_{0}}^3}}{2}\right) }\; \times \; y_{0}}}}\)