Caríssimo, voltando ainda ao seu problema apresento-lhe a respetiva solução:
\(y'=\frac{y}{x^2+2x+1}\)
é uma eq. dif. de 1ª ordem
então:
\(\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x^2+2x+1} \ <=>\)
\(<=> \ \frac{1}{y}dy=\frac{1}{x^2+2x+1}dx \ <=>\)
\(<=> \ \int\frac{1}{y}dy=\int\frac{1}{x^2+2x+1}dx \ <=>\)
\(<=> \ \int\frac{1}{y}dy=\int\frac{1}{(x+1)^2}dx \ <=>\)
\(<=> \ ln|y|=-\frac{1}{x+1}+C \ <=>\)
\(<=> \ y=e^{-\frac{1}{x+1}}.C \ <=>\)
Como \(y(0)=1, \ \ C=e\) que resulta em:
\(y(x)=e^{-\frac{1}{x+1}}.e = e^{-\frac{1}{x+1}+1} = e^{\frac{x}{x+1}}\)
Pode confirmar o resultado aqui:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+dy%2Fdx%3D+y%2F%28x%5E2%2B2x%2B1%29%2C+y%280%29%3D1
Volte sempre
