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Bom dia, alguém poderia me ajudar nessa questão?

Determine os valores de λ ∊ R para os quais todas as soluções da equação diferencial x''+λx'+x=0 são limitadas.

Grato desde já.

O polinómio característico da eq. linear de segunda ordem que apresenta é \(p(D) = D^2 + \lambda D + 1\), cujas raízes são
\(D = \frac{-\lambda \pm \sqrt{\lambda^2 - 4}}{2}\).

1. Se \(\lambda^2 -4 >0\), i.e. se \(\lambda \in ]-\infty, -2[\cup ]2, +\infty[\), a eq. característica tem duas raízes reais e a solução de eq. dif. é dada por uma combinação linear de duas exponenciais, o que não dá origem a uma função limitada.

2. Se \(\lambda^2 -4 =0\), a eq. característica tem uma raíz real de multiplicidade 2 e a sol. da eq. dif. será o produto de um pol. de grau 1 por uma exponencial, o que não dá origem a uma função limitada.

3. Finalmente, se \(\lambda^2 -4 <0\), i.e. \(\lambda \in ]-2,2[\), a eq. característica tem duas raízes complexas conjugadas, e a sol. de eq. dif. é da forma

\(x(t) = e^{-\lambda t} (C_1 \cos (\sqrt{4-\lambda^2} t) + C_2 \sin (\sqrt{4-\lambda^2} t))\)

que apenas será limitada se \(\lambda=0\).

Concluindo: Apenas temos soluções limitadas em R no caso de lambda ser zero.