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Solução geral da equação dada
https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=17&t=6730		 Página 1 de 1
Autor:  ivoski [ 18 ago 2014, 23:29 ]
Título da Pergunta:  Solução geral da equação dada
qual seria uma solução geral de
y´= \(\frac{y^{2}-2xy}{x^2}\)
(x>0 e y>0)
Autor:  Man Utd [ 19 ago 2014, 02:00 ]
Título da Pergunta:  Re: Solução geral da equação dada
Olá :D


Bastar utilizar a substituição : \(u=\frac{y}{x} \;\;\; \rightarrow \;\;\; y^{\prime}=u^{\prime}x+u\) (Pois esta eq. dif é uma equação homogenea) :


\(u^{\prime}x+u=u^{2}-2u\)


\(u^{\prime}x=u^{2}-3u\)


\(u^{\prime}=\frac{u^{2}-3u}{x}\)


\(\frac{du}{dx}=\frac{u^{2}-3u}{x}\)


\(\frac{du}{u^{2}-3u}=\frac{dx}{x}\)


\(\int \; \frac{du}{u^{2}-3u}=\int \; \frac{dx}{x}\)


Tente concluir...
Autor:  ivoski [ 20 ago 2014, 00:14 ]
Título da Pergunta:  Re: Solução geral da equação dada
antes de tudo te agradeço pela ajuda
mas ainda estou enrolado na questao
integrando cheguei a
\(\frac{1}{3}(ln(3-u))-ln(u)= ln(x)\)
substituindo
\(\frac{1}{3}(ln(3-\frac{y}{x}))-ln(\frac{y}{x})= ln(x)\)
parei aqui, nao sei se com manobras algebricas consigo chegar ao gabarito

gabarito: y = \(\frac{3x}{1-Cx^3}\)

obrigado
Autor:  Man Utd [ 20 ago 2014, 15:52 ]
Título da Pergunta:  Re: Solução geral da equação dada
Olá :D


Perceba que esqueceu de colocar a constante depois de integrar .

\(\frac{1}{3}(\ln (3-u))-\ln (u)=\ln (x)+C\)


\(\frac{1}{3}\left( \ln \left(3-\frac{y}{x} \right) \right)-\ln \left(\frac{y}{x} \right)=\ln (x)+C\)


\(\frac{1}{3}\left( \ln \left( \frac{3-\frac{y}{x}}{\frac{y}{x} } \right) \right)=\ln (x)+C\)


\(\ln \left( \frac{3-\frac{y}{x}}{\frac{y}{x} } \right) =3\ln (x)+3C\)


\(\ln \left( \frac{3x}{y}-1 \right) =3\ln (x)+C\)


\(\ln \left( \frac{3x}{y}-1 \right) =\ln (x^{3})+C\)


\(\frac{3x}{y}-1=x^{3}C\)


\(\frac{3x}{y}=x^{3}C+1\)


\(y=\frac{3x}{x^{3}C+1}\)



este é o resultado , confira o gabarito ou até mesmo a questão.
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