a)Mostre que se n = 1 então, para todo t > 0
\((-n)[t^{2-(n+1)}]= t^{2-2n}- t^{1-n} - 1\)
b) Determine uma solução geral de\(t^{2}y´ = -1 - ty + t^{2}y^{2}\)
no intervalo (0, +oo)
obs.:Procure uma solução particular da forma y1 (t) = \(t^{-n}\)
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| Autor: | ivoski [ 20 ago 2014, 11:21 ] |
| Título da Pergunta: | Mostre e determine uma solução geral |
a)Mostre que se n = 1 então, para todo t > 0 \((-n)[t^{2-(n+1)}]= t^{2-2n}- t^{1-n} - 1\) b) Determine uma solução geral de\(t^{2}y´ = -1 - ty + t^{2}y^{2}\) no intervalo (0, +oo) obs.:Procure uma solução particular da forma y1 (t) = \(t^{-n}\)
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| Autor: | josesousa [ 22 ago 2014, 14:10 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Mostre e determine uma solução geral |
Não se percebe a pergunta... |
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| Autor: | ivoski [ 22 ago 2014, 14:35 ] | ||
| Título da Pergunta: | Re: Mostre e determine uma solução geral | ||
Bom dia segue a questao... obrigado
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| Autor: | Man Utd [ 23 ago 2014, 01:00 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Mostre e determine uma solução geral |
Olá :D a) Substitua n=1 na expressão : \((-1)*t^{2-2}=t^{2-2}-t^{1-1}-1\) \((-1)*t^{0}=t^{0}-t^{0}-1\) perceba que se t>0 sempre teremos a igualdade , pois : \(-1=1-1-1\) \(-1=-1\) b) Veja que se trata de uma equação de riccalti, então : \(t^2*y^{\prime}=-1-ty+t^2y^{2}\) \(y^{\prime}=-\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t}*y+y^{2}\) Seguindo a sugestão obtemos que \(y=\frac{1}{t}\) é uma solução, agora usando a substituição \(y=\frac{1}{t}+v\) na eq. dif : \(\left( \frac{1}{t}+v \right)^{\prime}=-\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t}\left( \frac{1}{t}+v \right)+\left( \frac{1}{t}+v \right)^{2}\) Tente concluir.... |
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| Autor: | ivoski [ 23 ago 2014, 02:54 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Mostre e determine uma solução geral |
 poxa amigo, nao consegui prosseguir...cheguei a alguns resultados, mas sem logica... poderia me mostra a resolução? abraços
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| Autor: | Man Utd [ 23 ago 2014, 15:31 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Mostre e determine uma solução geral |
\(\left( \frac{1}{t}+v \right)^{\prime}=-\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t}\left( \frac{1}{t}+v \right)+\left( \frac{1}{t}+v \right)^{2}\) \(-\frac{1}{t^2}+v^{\prime}=-\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t^2}-\frac{v}{t} + \frac{1}{t^2}+\frac{2v}{t}+v^2\) \(v^{\prime}=\frac{v}{t}+v^2\) agora veja que é uma eq. de bernoulli logo \(z=v^{1-2}=\frac{1}{v} \;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\; z^{\prime}=-\frac{1}{v^2}\), multiplique a eq. dif por \(v^{-2}\) : \(\frac{v^{\prime}}{v^2}=\frac{1}{tv}+1\) \(z^{\prime}=-\frac{z}{t}-1\) \(z^{\prime}+\frac{z}{t}=-1\) Fator integrante : \(\mu(t)=e^{\int \; \frac{1}{t} \; dt}=t\), logo multiplique por "t" : \(z^{\prime}t+z=-t\) \((z*t)^{\prime}=-t\) \(\int \; (z*t)^{\prime}=-\int \; t \; dt\) \(z*t=-\frac{t^2}{2}+C\) \(z=-\frac{t}{2}+\frac{C}{t}\) \(z=-\frac{t^2+C}{2t}\) Retornando a função "v" : \(v=-\frac{2t}{t^2+C}\) ,agora retornando a função "y" : \(\fbox{\fbox{\fbox{y(x)=\frac{1}{t}-\frac{2t}{t^2+C} }}}\) está é a solução. |
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