Equação Diferencial Exata (1 - 2x² - 2y)dx - (4x³ + 4xy)dy = 0

[piimentel]

Resolver a equação diferencial exata abaixo:

(1 - 2x² - 2y)dx - (4x³ + 4xy)dy = 0
Resposta: -x^4 - 2x² + y - y² = C

Agradeço bastante quem puder me ajudar!
=)

[João P. Ferreira]

Consideremos então

\(M(x,y)=1 - 2x^2 - 2y\)

e

\(N(x,y)= -4x^3 - 4xy\)

Trata-se de um EDO exata se

\(\frac{\part M}{\part y}= \frac{\part N}{\part x}\)

com \(M\) e \(N\) funções diferenciáveis e integráveis.

como \(\frac{\part M}{\part y}=-2\)

e \(\frac{\part N}{\part x}=-12x^2-4y\)

a função não é uma EDO exata (poderá ser redutível a exata, mas isso é outra história)
http://youtu.be/DebsFVEOEzI

[João P. Ferreira]

vamos tentar reduzir a EDO a uma EDO exata

primeiro, vamos ver, se o nosso fator integrante depende de \(x\) ou \(y\)

dependerá de \(x\) se a seguinte expressão depender apenas de \(x\)

\(\frac{M_y-N_x}{N}=\frac{-2+12x^2+4y}{-4x^3-4xy}\)

o fator integrante dependerá de \(y\) se a seguinte expressão depender apenas de \(y\)

\(\frac{N_x-M_y}{M}=\frac{-12x^2-4y+2}{1-2x^2-2y}=2\frac{1-6x^2-2y}{1-2x^2-2y}=2\frac{-4x^2+1-2x^2-2y}{1-2x^2-2y}=...\)

logo, parece-me, que também não é redutível a exata