Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Olá! Se é possível expressar a n-ésima integral como uma única integral (http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_for ... ntegration), então é possível também expressar a n-ésima derivada como uma única derivada?

Num minuto em que vi a expressão, não pode derivar ambos os membros e tentar obter uma igualdade como pretende?

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José Sousa
_{se gostou da resposta, divulgue o fórumdematemática.org}

O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó---óóóóóó óóó---óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928

Sim! No entanto, eu gostaria duma expressão que envolvesse somente diferenciações e não integrações também...

Pode sempre derivar os dois membros até desaparecer o integral. Veja o Teorema Fundamental do Cálculo.

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José Sousa
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O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

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(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928

Caro Henrique,

Infelizmente o que pede não é possível... Para exprimir a derivada de ordem n como a derivada de primeira ordem de certa função, essa função tem que ser a derivada de ordem (n-1)

O que pode fazer é exprimir a derivada de ordem n como um único integral, mas o caminho de integração é no plano complexo (procure por formula integral e Cauchy).

Sinceramente penso que não.
No entanto, e para complementar a resposta do Sobolev, é possível também expressar a n-ésima derivada como um único limite como pode ver aqui:
http://en.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%BCnwald%E2%80%93Letnikov_derivative

PS- se seguir os links da página que deu (nomeadamente o que diz differintegral) também chega lá.