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Boa tarde!
Para resolver esta integral vou realizar a substituição \(u=2x+1\)
Derivando, temos:
\(\frac{du}{dx}=2\)
\(dx=\frac{du}{2}\)
Agora, basta realizar as substituições. Veja que para substituir o x temos, a partir de u que \(x=\frac{u-1}{2}\)
\(\int x\sqrt{2x+1} dx=\int \frac{u-1}{2}\sqrt{u} \frac{du}{2}
\frac{1}{4} \int \left (u-1 \right ) . u^{1/2} du
\frac{1}{4} \int \left (u^{3/2}-u^{1/2} \right ) du
\frac{1}{4} \left (\frac{u^{5/2}}{5/2}-\frac{u^{3/2}}{3/2} \right )+K
\frac{1}{4} \left (\frac{2u^{5/2}}{5}-\frac{2u^{3/2}}{3} \right )+K
\frac{2}{4} \left (\frac{(2x+1)^{5/2}}{5}-\frac{(2x+1)^{3/2}}{3} \right )+K
\frac{(2x+1)^{1/2}}{2} \left (\frac{(2x+1)^2}{5}-\frac{(2x+1)}{3} \right )+K
\frac{(2x+1)^{1/2}}{2} \left (\frac{3(2x+1)^2-5(2x+1)}{15} \right )+K
\frac{(2x+1)^{1/2}}{30} \left (3(4x^2+4x+1)-10x-5 \right )+K
\frac{(2x+1)^{1/2}}{30} \left (12x^2+2x-2) \right )+K
\frac{2(2x+1)^{1/2}}{30} \left (6x^2+x-1 \right )+K
\frac{(2x+1)^{1/2} \left (6x^2+x-1 \right )}{15}+K\)
Espero ter ajudado!
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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles
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