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DÚVIDAS? Nós respondemos!

Por favor, encontrei essa questão em uma lista de exercícios e não consegui resolvê-la.

A função f definida para x no intervalo:
\(0< x\leq 2\pi\)
pela expressão
\(f(x) = \left \{ x, 0<x\leq \pi \right \}; f(x) = \left \{ x-2\pi, \pi<x\leq 2\pi \right \}\)

a) Determine a série de Fourier da função f(x).
b) Use a série encontrada para obter o valor da série numérica \(\sum \frac{(-1)^n}{2n-1}\) n>=1

Desde já agradeço

Oi ,comece esboçando a função periodica e verá que é uma função ímpar, logo \(A_{0}=0\) e \(A_{n}=0\), neste caso só precisamos calcular :



\(B_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \; f(x) \sin (nx) \; dx=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \; x \sin (nx) \; dx=-\frac{2(-1)^{n}}{n}\)


Dada a série de fourier : \(S(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty} \; A_{n} \cos(nx)+B_{n} \sin (nx)\), então :



\(\begin{cases} x \;\; , \;\; se \;\;\; 0<x\leq \pi \;\; (i) \\ x-2\pi \;\; , \;\; se \;\;\; \pi<x\leq 2 \pi \;\; (ii) \end{cases}=\sum_{n=1}^{+\infty} \; -\frac{2(-1)^{n}\sin (nx)}{n}\)



Então se fizermos \(x=\frac{\pi}{2}\) ,vamos utilizar o primeiro caso:



\(\frac{\pi}{2}=\sum_{n=1}^{+\infty} \; -\frac{2(-1)^{n}\sin (n \frac{\pi}{2})}{n}\)


Perceba que se "n" é ímpar, temos que \(n=2k-1\),logo:



\(\frac{\pi}{2}=\sum_{k=1}^{+\infty} \; -\frac{2(-1)^{2k-1}\sin ((2k-1)\frac{\pi}{2})}{2k-1}\)


\(\frac{\pi}{2}=\sum_{k=1}^{+\infty} \; \frac{2(-1)^{k+1}}{2k-1}\)


\(\sum_{k=1}^{+\infty} \; \frac{(-1)^{k}}{2k-1}=-\frac{\pi}{4}\)

Muito obrigado pela sua resposta,
Realmente já havia conseguido escrever a função de Fourier, mas achei que estava incorreta pois não achava uma maneira de chegar na série pedida na letra c. Entendi perfeitamente a substituição de n = 2k-1. Agradeço bastante pela sua atenção.