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\(f(x,y)=(x^{2}-2y^{2})e^{1-x^{2}-y^{2}}\)

fx=?


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MensagemEnviado: 24 fev 2015, 00:51 
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\(j=x^{2}-2y^{2}
g=e^{1-x^{2}-y^{2}}
\frac{\partial j}{\partial x}=2x
\frac{\partial g}{\partial x}=e^{1-x^{2}-y^{2}}(-2x)\)

\(\frac{\partial f}{\partial x}=(j \dot g)'=j'g+jg'=2xe^{1-x^{2}-y^{2}}+(x^{2}-2y^{2})e^{1-x^{2}-y^{2}}(-2x)\)

Simplifique! ^^


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MensagemEnviado: 24 fev 2015, 12:30 
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Simplificando fica \(\partial f/\partial x=2xe^{1-x^{2}-y^{2}}(1-x^{2}-y^{2})\)

Fazendo \(\partial f/\partial y=2ye^{1-x^{2}-y^{2}}(x^{2}-2+2y^{2})\)

Igualando os dois termos a zero, qual seriam os valores de x e y?


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MensagemEnviado: 24 fev 2015, 15:06 
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Estando já fatorizado, basta aplicar a lei do anulamento do produto.

\((2x)e^{1-x^{2}-y^{2}}(1-x^{2}-y^{2})
2x=0\: \vee \: e^{1-x^{2}-y^{2}}=0\: \vee \:1-x^{2}-y^{2}=0\)

\((2y)e^{1-x^{2}-y^{2}}(x^{2}-2+2y^{2})=0
2y=0\: \vee \: e^{1-x^{2}-y^{2}}=0\: \vee \:x^{2}-2+2y^{2}=0\)


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MensagemEnviado: 25 fev 2015, 01:31 
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A resposta do livro é x=0 e y=+/-1.
Com sistema abaixo não é possível encontrar estes valores.
\(1-x^{2}-2y^{2}=0\)
\(2+x^{2}+2y^{2}=0\)
Podes me ajudar?


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MensagemEnviado: 25 fev 2015, 02:14 
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Primeiro são equações diferentes! Não tem como fazer um sistema.
Para a primeira equação vem:
\(2x=0 \: \vee \:1-x^{2}-y^{2}=0\)
\(x=0 \:\vee \:\)\(x^2+y^2=1\)

As soluções vão ser x=0 e todos os pontos pertencentes à circunferência de raio 1 e cento (0,0). Se quiser as soluções inteiras vão ser: \(x=0\:x=1\:x=-1\:y=0\:y=1\:y=-1\)

Anexo:
a249804c38890a3d8cb669d5d882be31.png
a249804c38890a3d8cb669d5d882be31.png [ 48.53 KiB | Visualizado 2512 vezes ]


Para a segunda equação vem:
\(2y=0\: \vee \: x^{2}-2+2y^{2}=0
y=0\: \vee \: \frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1\)

As soluções vão ser y=0 e todos os pontos pertencentes à elipse de raio menor 1 e centro (0,0). Se quiser as soluções inteiras vão ser: \(y=0\:y=1\:y=-1\:x=0\)

Anexo:
df7ec3b0211d1a539632744bd748b3af.png
df7ec3b0211d1a539632744bd748b3af.png [ 52.77 KiB | Visualizado 2512 vezes ]


Há que entender que para as duas equação vai haver infinitas soluções. Mas essas são as inteiras.


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MensagemEnviado: 25 fev 2015, 12:31 
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Muito obrigado pela excelente explicação!


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