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Determinar o tempo necessário para que certa quantia de dinheiro duplique colocada a 5% ao ano, continuamente acumulados.

Muito obrigado a quem puder me ajudar com esse problema.

Abraços.

Boa noite!

O valor do capital no tempo pode ser encontrado da seguinte forma:
\(\Delta C=i\cdot C\cdot\Delta t\text{, onde:}\\
\left{\Delta C{=}\text{ Variacao do Capital = Juros}\\
i\text{ taxa de juros}\\
C\text{ Capital Inicial}\\
\Delta t\text{ Variacao do tempo}\)

Se levarmos ao limite:
\(\lim_{\Delta t \to 0} \! {\Delta C=\mathrm{d}C=i\cdot C\cdot \mathrm{d}t\)

Se 'passarmos' o 'C' divididno e realizarmos a integracao em ambos os lados:
\(\int_{C_0}^{M} \! \frac{\mathrm{d}C}{C}=\int_{t_0}^{t_1} \! i\cdot \mathrm{d}t\\
\ln{M}-\ln{C_0}=i\cdot (t_1-t_0)\\
\ln{\left(\frac{M}{C_0}\right)}=i\cdot\Delta t\\
\left(\frac{M}{C_0}\right)=e^{i\cdot\Delta t}\\
M=C_0\cdot e^{i\cdot\Delta t}\)

Então, como se pede o tempo para duplicar a 5% a.a., com capitalização contínua (5%a.a.c.c.c):
\(2C_0{=}C_0\cdot e^{5\%\cdot\Delta t}\\
2{=}e^{0,05\cdot\Delta t}\\
0,05\cdot\Delta t{=}\ln {2}\\
\Delta t{=}\frac{\ln 2}{0,05}\\
\Delta t\approx 13,86\text{ anos}\)

Espero ter ajudado!

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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles