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| Equação Diferencial para cálculo de dinheiro https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=17&t=8302 |
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| Autor: | PGPAB [ 24 mar 2015, 03:47 ] |
| Título da Pergunta: | Equação Diferencial para cálculo de dinheiro |
Determinar o tempo necessário para que certa quantia de dinheiro duplique colocada a 5% ao ano, continuamente acumulados. Muito obrigado a quem puder me ajudar com esse problema. Abraços. |
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| Autor: | Baltuilhe [ 25 mar 2015, 04:59 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Equação Diferencial para cálculo de dinheiro |
Boa noite! O valor do capital no tempo pode ser encontrado da seguinte forma: \(\Delta C=i\cdot C\cdot\Delta t\text{, onde:}\\ \left{\Delta C{=}\text{ Variacao do Capital = Juros}\\ i\text{ taxa de juros}\\ C\text{ Capital Inicial}\\ \Delta t\text{ Variacao do tempo}\) Se levarmos ao limite: \(\lim_{\Delta t \to 0} \! {\Delta C=\mathrm{d}C=i\cdot C\cdot \mathrm{d}t\) Se 'passarmos' o 'C' divididno e realizarmos a integracao em ambos os lados: \(\int_{C_0}^{M} \! \frac{\mathrm{d}C}{C}=\int_{t_0}^{t_1} \! i\cdot \mathrm{d}t\\ \ln{M}-\ln{C_0}=i\cdot (t_1-t_0)\\ \ln{\left(\frac{M}{C_0}\right)}=i\cdot\Delta t\\ \left(\frac{M}{C_0}\right)=e^{i\cdot\Delta t}\\ M=C_0\cdot e^{i\cdot\Delta t}\) Então, como se pede o tempo para duplicar a 5% a.a., com capitalização contínua (5%a.a.c.c.c): \(2C_0{=}C_0\cdot e^{5\%\cdot\Delta t}\\ 2{=}e^{0,05\cdot\Delta t}\\ 0,05\cdot\Delta t{=}\ln {2}\\ \Delta t{=}\frac{\ln 2}{0,05}\\ \Delta t\approx 13,86\text{ anos}\) Espero ter ajudado! |
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