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Dúvida sobre resolução de taxa de variação.
https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=17&t=8462		 Página 1 de 1
Autor:  Sagan [ 10 abr 2015, 19:08 ]
Título da Pergunta:  Dúvida sobre resolução de taxa de variação.
Ao meio dia o barco A está 64km a oeste do barco B. O barco A navega para leste a 20km/h e o barco B para norte a 25km/h. Qual a taxa de variação da distância entre os barcos às 13:52?

Já consegui resolver alguns exercícios de taxa de variação, sei que tenho que relacionar as variáveis de alguma forma para então derivá-las, mas quanto a esse exercício em específico eu estou perdido, não sei como proceder, alguma luz?
Autor:  pedrodaniel10 [ 10 abr 2015, 20:10 ]
Título da Pergunta:  Re: Dúvida sobre resolução de taxa de variação.
Olá, para resolver este exercício eu vou aplicar alguns conhecimentos de Física mas que não deixa ser Matemática. Nós podemos desenhar o gráfico posição tempo dos dois barcos, usando equações paramétricas. Não é necessário a utilização, mas é mais fácil de se entender depois.

Para o Barco A podemos colocar a seguinte equação. Ele vai começar na origem (0,0) e como só ruma para leste vai apenas se movimentar ao longo do eixo dos x com uma velocidade constante. Vou colocar a velocidade em km/min para se resolver melhor o exercício.

\(A(t)=\begin{cases} x(t)= \frac{20}{60}t& \\ y(t)=0 & \end{cases}\)

Para o Barco B, começa no ponto (0,64) já que dista 64km do Barco A. Como vai para norte, apenas se vai movimentar no eixo dos y.

\(B(t)=\begin{cases} x(t)= 64& \\ y(t)=\frac{25}{60}t & \end{cases}\)

O que isto quer dizer que para t minutos.

\(A(t)=(\frac{20}{60}t,0)
B(t)=(64,\frac{25}{60}t)\)

Seja d(t) a função para qual a distância entre os dois barcos varia:
\(d(t)=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}=\sqrt{\left (64-\frac{20}{60}t \right )^2+\left ( \frac{25}{60}t-0 \right )^2}\)

Às 13:52 passaram 112 minutos do meio dia. Sendo assim a taxa de variação será igual a:

\(\lim_{h\rightarrow 0}\left ( \frac{d(112+h)-d(112)}{h} \right )\)

Que corresponde a \(d'(112)\)

A derivada da raiz quadrada é o mesmo que:
\((\sqrt{u})'=(u^{1/2})'=\frac{1}{2}\cdot u^{1/2-1}\cdot u'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}\)

\(u=\left (64-\frac{20}{60}t \right )^2+\left ( \frac{25}{60}t-0 \right )^2=\frac{41t^2}{144}-\frac{128t}{3}+4096\)

\(d't=\frac{(\frac{41t^2}{144}-\frac{128t}{3}+4096)'}{2\sqrt{\frac{41t^2}{144}-\frac{128t}{3}+4096}\)

\(d'(t)=\frac{41t-3072}{12\sqrt{41t^2-6144t-589824}}\)

\(d'(112)=0,1964 km/min\)

Se todos os cálculos estiverem corretos, às 13:52 a taxa de variação será 0,1964 km/min
Autor:  Sagan [ 11 abr 2015, 11:47 ]
Título da Pergunta:  Re: Dúvida sobre resolução de taxa de variação.
Hmmm... eu nunca vi equações paramétricas, mas acho que entendi o raciocínio, porém isso me despertou algumas dúvidas, a taxa de variação da distância não teria que ser dada em Km/h? (Ou Km/min no caso da sua resolução). Até pq o resultado da questão aqui é -1km/h.
Autor:  pedrodaniel10 [ 11 abr 2015, 15:42 ]
Título da Pergunta:  Re: Dúvida sobre resolução de taxa de variação.  [resolvida]
Sim, como é uma variação em função de t, tempo, terá que ficar km/min. Tem toda a razão.
Mas se o resultado deu -1km/h não está de acordo com a minha resolução. Até porque nesse caso a distância estaria a diminuir às 13:52.

O que tentei fazer, foi criar coordenadas no plano cartesiano do barco A e do barco B que vai variando ao longo do tempo. E a função da distância é retirada da distância entre dois pontos no plano. Assim pela função à qual cheguei a distância diminui até passados cerca de 75 minutos. Ou seja a derivada da função é negativa até t=75 para o qual neste ponto é nula. Assim a distância seria mínima às 13:15.

Vou rever toda a minha resolução ver se algo está errado. Conto com a sua ajuda :)

Obs: Estive até a fazer uns cálculos, e a derivada da função distância apresentaria resultado -1km/h, ou seja, -1/60 km/min passados exatamente 72 minutos: t=72, o que seria às 13:12.
Autor:  Sagan [ 11 abr 2015, 21:46 ]
Título da Pergunta:  Re: Dúvida sobre resolução de taxa de variação.
Pedro eu consegui! Haha! Primeiro eu calculei o quanto eles iriam andar num determinado período de tempo (1,2h), depois eu usei Pitágoras no triângulo formado e derivei o teorema hehe :P Vlw mesmo pela ajuda!
PS: eu ia fechar esse tópico mais cedo, mas tinha que agradecer e não estava mostrando a opção "responder" antes aqui, só agora voltou.
Autor:  pedrodaniel10 [ 12 abr 2015, 02:04 ]
Título da Pergunta:  Re: Dúvida sobre resolução de taxa de variação.
1,2h? Isso seria 13:12 e não às 13:52 ?
Autor:  Sagan [ 12 abr 2015, 03:02 ]
Título da Pergunta:  Re: Dúvida sobre resolução de taxa de variação.
Agora que vi... coloquei o enunciado errado. Sua resolução estava correta afinal, as informações que eu dei que foram equivocadas. :O
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